Биномиальные коэффициенты как числа сочетаний без повторений

Рассмотрим формулу бинома Ньютона.

Бином Ньютона (1+ x) ⁿ, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n -1}+…+ a_{n -1} x ¹+ a_nx ⁰, где a ₀=1, a_n =1, x ⁰=1. Оказывается, что , где i =0,1,…, n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xⁱ равен сумме i единиц и n -i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

Следствие. 1) ;2) ;3) ;

4) .

Доказательство. 1) В тождестве теоремы подставим x =1.

2) В том же тождестве подставим x =-1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x =1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .