2014-02-02
1574
Рассмотрим формулу бинома Ньютона.
Бином Ньютона (1+ x) n, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a 0 xn + a 1 xn -1+…+ an -1 x 1+ anx 0, где a 0=1, an =1, x 0=1. Оказывается, что 
, где i =0,1,…, n. Поэтому числа сочетаний 
называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: 
. Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.
Теорема. 
.
Доказательство. 
. Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xi равен сумме i единиц и n -i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно 
.
Следствие. 1) 
;2) 
;3) 
;
4) 
.
Доказательство. 1) В тождестве теоремы подставим x =1.
2) В том же тождестве подставим x =-1.
3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:
.
Затем подставим x =1.
4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:
.
Получим: 
.
