Свойства пределов

Лекция 5

1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из первого определения предела.

2) Постоянную можно выносить за знак предела.

В самом деле, пусть , в соответствии с теоремой , причем Очевидно, , гдепостоянная, но - бесконечно малая при , что следует из свойств бесконечно малых, тогда функция отличается от , следовательно, .

3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если

они существуют.

Пусть и , тогда и , где и , тогда . Но подчеркнутые члены – есть бесконечно малая, и

.

4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов,

если они существуют (доказывается аналогично).

5) , если оба предела существуют и .

6) Если , то .

7) Принцип двух милиционеров.

Если и , то .