1) Производная суммы функций есть сумма производных.
Пусть , тогда
.
Очевидно, .
2) .
3) .
Свойства 2) и 3) доказываются аналогично.
4) Если , то есть функция сложная , ее производная вычисляется по формуле . Здесь нижний индекс показывает переменную, по которой происходит дифференцирование.
Докажем это утверждение
.
В ходе доказательства был осуществлен переход от к , что является оправданным, поскольку функция предполагается дифференцируемой, следовательно, непрерывной.