Лекция 6
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение представимо в виде , причем не зависит от , бесконечно малая функция, более высокого порядка малости, чем , то есть .
Установим значение , для чего вычислим
.
Назовем числопроизводной функции в точке x и обозначим ее , в результате получаем определение производной и, кроме того,
.
Как было сказано выше, второе слагаемое в приращении функции более высокого порядка малости, чем , следовательно, и . Другими словами, первое слагаемое представляет основную часть приращения функции. Называют его дифференциалом функции и обозначают В целях единообразия приращение аргумента в этой формуле обозначают . Тогда , откуда следует второе обозначение производной . Связь между приращением функции, ее дифференциалом и изображена на рисунке.
Теорема. Дифференцируемая в некоторой точке функция непрерывна в ней. В самом деле, поскольку , таким образом, из условия дифференцируемости функции имеем , то есть условие ее непрерывности.
|
|
Если из условия непрерывности функции следует, что приращение функции бесконечно малая при , то из условия дифференцируемости получается, что бесконечно малая одного порядка малости с .
Вычисление производной можем называть теперь дифференцированием функции.