Введем сеточные нормы ; ; .
Разностная схема (3), (4) называется устойчивой, если существуют такие положительные константы , не зависящие от , что для произвольной сеточной функции выполняется неравенство .
Возьмем произвольную сеточную функцию , обозначим и рассмотрим квадратный многочлен
. (5)
На множестве выполняются неравенства
. (6)
Применяя оператор Лапласа к многочлену , имеем .
Учитывая, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора Лапласа разностным выражается через четвертые производные, получаем .
Возьмем вспомогательную функцию . Применяя к ней разностный оператор Лапласа, получим .
В силу принципа максимума для разностного оператора Лапласа сеточная функция принимает наименьшее свое значение на границе. На границе в соответствии с (6) имеем .
Отсюда следует, что или
. (7)
Используя вспомогательную функцию , можно доказать, что
. (8)
Объединяя (7) и (8), получаем или
. (9)
Из (9) и (6) следует . Устойчивость доказана.
Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении. По доказанной ранее теореме решение разностной схемы будет сходиться к решению краевой задачи.
|
|
При изложении материала за основу взяты страницы 530-531 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
11.4. Метод матричной прогонки решения разностной схемы..
Задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате и ее разностная схема. Представление разностной схемы в матричном виде. Расчетные формулы метода матричной прогонки.
Использование алгебраических преобразований при выводе расчетных формул. Исследование метода матричной прогонки на устойчивость.