Основные определения

План

Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности

Описание модели спроса на рисковый актив в терминах контингентных благ.
Модель спроса на страховку.

1. Назовем контингентным благ ом богатство индивида в случае реализации состояния мира . Тогда потребитель выбирает между наборами контингентных благ , где - это богатство индивида в состоянии мира , . Предпочтения на наборах контингентных благ описываются (обобщенной) функцией ожидаемой полезности: набор контингентных благ не хуже набора , когда ожидаемая полезность от набора не меньше ожидаемой полезности от набора , т.е. . Множество доступных наборов контингентных благ описывается бюджетным ограничением.

В случае модели формирования портфеля инвестиций (из рискового и безрискового активов, см. описание в плане лекции 12) есть два состояния мира и, соответственно, два контингентных блага: 1) - богатство в состоянии мира, когда рисковый актив имеет доходность , и 2) - богатство в состоянии мира, когда рисковый актив имеет доходность . Уравнение бюджетной линии в пространстве контингентных благ имеет вид: при . Заметим, что индивиду всегда должен быть доступен набор контингентных благ, соответствующий ситуации, когда он не рискует, т.е. все средства вкладывает в безрисковый актив (точка первоначального запаса). В этом случае не зависимо от того, какое состояние мира наступит доход индивида составит , т.е. набор контингентных благ соответствует случаю . Поскольку по условию вложения в рисковый актив должны удовлетворять ограничению , то другой крайний случай, , соответствует набору контингентных благ .

Кривая безразличия по определению – это множество наборов контингентных благ, дающих один и тот же уровень ожидаемой полезности, т.е. это все такие наборы , что . Соответственно, наклон кривой безразличия (с обратным знаком) описывается предельной нормой замещения , причем в любой точке на линии определенности, где , . Если индивид является рискофобом, то элементарная функция полезности (а, следовательно, и функция ожидаемой полезности) строго вогнута, а значит предпочтения выпуклы и множество наборов не хуже данного является выпуклым.

Тогда задачу индивида можно представить в виде задачи выбора наилучшего из доступных набора контингентных благ:

Внутренний оптимальный набор контингентных благ характеризуется касанием кривой безразличия и бюджетной линии, т.е. .

На левом рисунке изображен оптимальный выбор рискофоба при , на правом – при .

2. Модель спроса на страховку.

Рассмотрим индивида-рискофоба, предпочтения которого описываются ожидаемой функцией полезности с элементарной функцией полезности , где , . Пусть богатство данного агента равно , однако существует возможность потери части этого богатства , . Вероятность потери равна , где . Нейтральная к риску, не имеющая операционных издержек, страховая компания предлагает страховку по цене за каждую единицу страхового покрытия. Пусть - это количество страховки, покупаемой индивидом, т.е. величина страхового покрытия (иногда вводится дополнительное предположение, что страховое покрытие не может быть больше потерь, т.е. ):

Задача индивида:

В оптимальной точке выполнены условия первого порядка (необходимые и достаточные, поскольку целевая функция строго вогнута):

и , если .

Утверждение: Если страховка актуарно справедлива, т.е. (в этом случае ожидаемая прибыль страховой компании равна нулю), то индивид-рискофоб страхуется полностью, т.е. .

Утверждение: Если страховка не является актуарно справедливой, т.е. (в этом случае ожидаемая прибыль страховой компании положительна), то индивид-рискофоб (с дифференцируемой элементарной функцией полезности) застрахуется на сумму, меньшую потерь, т.е. .