Основные определения. Примерный план лекции №4 и основные определения

План

Примерный план лекции №4 и основные определения.

Темы: Экономика обмена: Парето-оптимальные распределения; равновесие по Вальрасу (начало)

Парето-оптимальные распределения: определение, примеры поиска, дифференциальная характеристика.
Равновесие по Вальрасу: определение.

1. Допустимое распределение называется Парето-оптимальным (эффективным), если нельзя улучшить положение одного потребителя, не ухудшая положение другого. Другими словами, распределение Парето-оптимально, если для него нельзя построить Парето-улучшение, т.е. не существует другого допустимого распределения такого, что для всех потребителей и хотя бы для одного потребителя .

Пусть предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности, которая является дважды непрерывно дифференцируемой, причем предпочтения потребителей строго монотонны. Обозначим через совокупный запас блага . Будем также считать, что .

(1)

Утверждение. Каждое решение данной задачи (1) является Парето-оптимальным распределением и наоборот, любое Парето-оптимальное распределение является решением задачи (1) при некоторых значениях уровней полезности .

Дифференциальная характеристика Парето-оптимальных распределений:

1) Во внутреннем Парето-оптимальном распределении выполнено: . Т.е. в случае экономики обмена с двумя потребителями и двумя благами во внутреннем Парето-оптимуме имеет место касание кривых безразличия.

Условие равенства предельных норм замещение – необходимое и достаточное условие внутреннего Парето-оптимума, если предпочтения потребителей выпуклы (т.е. для любого набора из множества допустимых наборов множество наборов не хуже выпукло).

Пример ситуации, когда предпочтения одного потребителя (А) не являются выпуклыми и из равенства предельных норм замещения получаем не Парето-оптимальное распределение:

Итак, пусть, и . Тогда , . И из равенства предельных норм замещения получаем: , т.е. диагональ ящика Эджворта. Однако распределения на диагонали Парето-улучшаемы. В действительности, в данном случае нет внутренних Парето-оптимальных распределений; множество Парето-оптимальных распределений – периметр (все стенки) ящика Эджворта.

2) Граничные Парето-оптимальные распределения: Пусть , , , , где , тогда . Если , , , , где , то получаем следующую характеристику граничного Парето-оптимума .

Пример. Пусть , и . Тогда в любой точке ящика Эджворта и . Внутренних Парето-оптимальных распределений нет. Граничные Парето-оптимальные распределения – все наборы такие, что при , и при (т.е. нижняя и правая стенки ящика Эджворта).

Пример: Поиск Парето-оптимальных распределений в экономике обмена, где предпочтения потребителей описываются функциями полезности Кобба-Дугласа:

Пусть и , где , .

1) Граничные Парето-оптимальные распределения: только две точки начала координат для потребителей А и В, т.е. точки и .

2) Внутренние Парето-оптимальные распределения: поскольку предпочтения выпуклые, то во внутреннем Парето-оптимуме . Таким образом, для поиска внутренних Парето-оптимальных распределений нужно решить систему:

откуда находим: , где и .

Тогда множество Парето-оптимальных распределений (внутренних и граничных) описывается функцией при . При множество Парето-оптимальных распределений совпадает с диагональю ящика Эджворта, . При , кривая лежит выше диагонали (функция строго вогнута), при кривая лежит ниже диагонали (функция выпукла).