1. Определение оптимальной структуры флота судоходной компании.
Постановка задачи. Судоходная компания (СК) занимается перевозками грузов. В ее составе имеется типов судов, число судов в каждом типе .
В соответствии с долгосрочными договорами объемы перевозок на направлении n направлениях возрастут, и их годовые объемы составят тыс. т. Имеющихся судов недостаточно для освоения перевозок.
Определить оптимальную структуру флота СК, обеспечивающую освоение перевозок с максимальной прибылью.
Под структурой флота понимается типы судов и их количество.
Для решения задачи используется такой подход. Из сетки типоразмеров судов отбираются подходящие по назначению типы судов. При отборе судов также учитываются глубины в портах захода, оснащенность их перегрузочным оборудованием, гидрометеорологические условия на трассе и в портах и др. Эти суда будем называть претендентами на пополнение флота СК. Суда - претенденты могут быть отобраны и из других источников (данные о продаже судов, сдаче их в аренду и т.п.).
Программу оптимизации структуры флота СК (другими словами, оптимизацию пополнения флота СК новыми судами) будем определять на основе совместной расстановки действующих судов и судов-претендентов на пополнение на перспективных направлениях. Будем считать, что число судов новых типов, которые можно купить или построить на судостроительных заводах за год, не превышает .
Математическая модель задачи в общем виде такова:
(6)
, (7)
, (8)
, (9)
(10)
где - число судов i-ого типа на j-ом направлении,
- прибыль одного судна i-ого типа на j-ом направлении,
- годовая провозная способность одного судна i-ого типа на j-ом направлении.
Экономический смысл математической модели (6)-(10):
(6) – ЦФ отражает годовую прибыль судов всех типов на всех направлениях, которую нужно максимизировать.
(7) – ограничение по обязательному освоению перевозок на всех направлениях.
(8) – ограничение по обязательному использованию действующих типов судов.
(9) – ограничение по количеству судов-претендентов, которые могут построить судостроительные заводы (либо ограничение по количеству судов, которые продаются или сдаются в аренду).
(10) – условие неотрицательности переменных.
Число судов, подлежащих постройке (покупке) - , определяется соотношением:
.
Задача определения оптимальной структуры флота СК должна быть поставлена как задача целочисленного программирования. Особенностью математической модели в этом случае будет являться то, что требование целочисленности должно быть наложено не на каждую переменную , относящуюся к судам-претендентам, а на их сумму для каждого типа в отдельности, то есть:
- целое .
Для действующих типов судов это условие будет выполняться автоматически ввиду того, что ограничения по ним задаются равенствами.
Математическая модель задачи будет иметь вид:
(11)
, (12)
, (13)
, (14)
(15)
(16)
2. Выбор вида транспорта для доставки грузов.
Постановка задачи. В m пунктах отправления А1, А2, …, Аi, …, Am имеется олнородный груз в количестве а1, а2, …, ai, …, am (ед.). Груз нужно доставить в n пунктов назначения В1, В2, …, Вj, …, Bn, потребности которых составляют b1, b2, …, bj, …, bn (ед.). Груз может перевозиться t видами транспорта Т1, Т2, …, Tp, …, Tt.
Известна стоимость доставки единицы груза от каждого отправителя любому получателю любым видом транспорта .
Составить план перевозки грузов, обеспечивающий вывоз всех грузов от всех отправителей, удовлетворение потребностей всех получателей при минимальных расходах.
В качестве параметров управления примем количество груза, перевозимое от i-ого отправителя j-ому получателю транспортом вида p.
Математическая модель задачи имеет вид:
(17)
(18)
(19)
(20)
(17) – ЦФ отражает расходы на все перевозки, которые нужно минимизировать.
(18) – ограничение по обязательному вывозу груза от всех отправителей.
(19) – ограничение по удовлетворению потребностей всех получателей.
(20) – условие неотрицательности переменных.
В рассмотренной выше постановке задачи предполагалось, что запасы равны потребностям:
т.е. задача сбалансирована.
В зависимости от постановки задачи условие баланса не всегда соблюдается. Например, если пунктами назначения являются порты перевалки, то ограничения иметь вид:
,
где bj – пропускная способность j-ого порта.
Рассмотрим некоторые решения постановок задачи о выборе вида транспорта для доставки грузов.
Пусть заданы провозные способности разных видов транспорта. Обозначим их . В этом случае в математическую модель (17)-(20) нужно ввести дополнительную группу ограничений по провозной способности видов транспорта, которая будет иметь вид:
. (21)
В задаче могут рассматриваться перевозки разнородных грузов. Обозначим род груза текущим индексом k, .
Математическая модель (17)-(20) примет вид:
(22)
(23)
(24)
(25)
Полученную модель можно дополнить при необходимости ограничениями (21), внеся в них соответствующие изменения.
3. Выбор маршрута доставки грузов.
Рассмотрим задачу выбора маршрута доставки грузов от поставщиков к потребителям в смешанном сообщении с выбором вида транспорта. Рассматриваются перевозки в импорте.
В m пунктах имеется однородный груз, который нужно доставить n получателям. Доставка груза осуществляется в смешанном сообщении (морская часть пути и наземная, где есть возможность выбора вида транспорта для доставки: железнодорожный, автомобильный).
Перевалка груза может осуществляться в портах. Известна стоимость доставки 1 т груза из каждого иностранного порта в каждый порт перевалки (морская часть пути) и из каждого порта перевалки получателям каждым видом транспорта.
Необходимо выбрать маршрут доставки груза от отправителей к получателям, обеспечивающий минимальные расходы.
Введем обозначения:
i – порт отправления груза,
- порт перевалки, ;
j – пункт назначения, ;
p – вид транспорта, ;
ai – количество груза в порту отправления i;
bj – потребность в пункте назначения j;
- стоимость перевозки 1 т груза от i-ого поставщика к порту перевалки ;
- стоимость перевозки 1 т груза от порта перевалки к j-ому получателю транспортом вида р.
Введем 2 группы переменных:
- количество груза, перевезенного из i-ого порта отправления в порт перевалки ;
- количество груза, перевезенного из порта перевалки получателю j транспортом вида р.
Математическая модель задачи имеет вид:
(26)
, (27)
, (28)
, (29)
(30)
(26) – ЦФ отражает расходы на перевозку груза по всему пути его доставки;
(27) – ограничение по вывозу груза из портов отправления;
(28) – ограничение по удовлетворению потребностей получателей;
(29) – балансовые уравнения, смысл которых состоит в том, что груз поступивший в порт перевалки (левая часть), должен быть из него отправлен (правая часть);
(30) – условие неотрицательности переменных.