Теория очередей

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания, в которых происходит удовлетворение требований на выполнение каких-либо услуг.

Исследованием систем массового обслуживания (СМО) занимается теория очередей, на начальное развитие которой оказали особое влияние труды датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929) в области проектирования и эксплуатации телефонных станций. Общая схема СМО показана на рис.1.

Входной Правило Правило Каналы Выходной

поток постановки Очередь обслуживания обслуживания поток

требований в очередь требований

Рисунок 1.

Требование на обслуживание (например, неисправный автомобиль, судно) поступает в обслуживающую систему (автомастерскую, порт). Если есть свободные каналы обслуживания (мастера, причалы), то требование выполняется. Если все каналы заняты, то требование ставится в очередь по определенным правилам или покидает систему не обслуженным.

Основная задача теории массового обслуживания сводится к определению оптимального соотношения между входным потоком требований и числом обслуживающих каналов, при котором общие суммарные затраты минимальны.

Общие суммарные затраты складываются из затрат обслуживания и затрат ожидания, причем по мере увеличения сервиса затраты обслуживания увеличиваются, а затраты ожидания уменьшаются.

СМО можно описать, задавая следующие ее компоненты:

· входной поток требований,

· дисциплину очереди,

· механизм обслуживания.

Входной поток требований характеризуется вероятностным законом распределения моментов поступления требований в систему и количеством требований в каждом поступлении.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач теории очередей, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским).

Простейший поток событий обладает тремя свойствами:

1. стационарностью – постоянным количеством событий в единицу времени;

2. отсутствием последействия – независимостью количества событий после любого момента времени от количества событий до него;

3. ординарностью – практической невозможностью одновременного поступления нескольких требований.

Для простейшего потока частота наступления событий подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность того, что за время t произойдет k событий, определяется:

где - количество событий в единицу времени (интенсивность потока).

Вероятность того, что один причал занят (k=1) при отказе в среднем в единицу времени двух причалов (=2):

Вероятность того, что все причалы свободны – 13%; вероятность того, что один причал занят – 27%; два – 27%; три – 18%; четыре – 9% и т.д.

По теореме сложения вероятностей, вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий, отсюда вероятность отказа в единицу времени не более четырех причалов равна сумме вероятностей отсутствия отказа и вероятностей отказа одной, двух, трех, четырех причалов:

Вероятность отказа более четырех причалов:

Дисциплина очереди описывает порядок обслуживания требований в системе. Длина очереди может быть ограниченной или неограниченной. Правила постановки в очередь: FIFO – «первым пришел первым обслуживаешься», LIFO – «последним пришел первым обслуживаешься», по другим приоритетам или случайно.

Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью процедур обслуживания и количеством одновременно обслуживаемых требований.

Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным законом распределения, то есть распределение длительности оставшейся части работ по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой:

,

где - величина, обратная среднему времени обслуживания.

Введем в рассмотрение параметр - коэффициент загрузки системы или среднее число каналов (причалов), которые необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования (суда):

,

где - среднее число требований, поступающих в единицу времени; (интенсивность входного потока)

- среднее число требований, удовлетворяемых в единицу времени; (интенсивность потока обслуживания)

Т_обс – среднее время обслуживания одним каналом одного требования.

Заметим, что, если меньше количества каналов обслуживания, то очередь не может расти безгранично, то есть число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования.

Различают следующие виды СМО. В зависимости от условий ожидания требованием начала обслуживания различают СМО с отказами и с ожиданием.

В системах с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и утрачиваются.

В системах с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, ставится на очередь вплоть до освобождения любого из каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ожиданием и ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом циркулирующих в системе требований, называются системами с ограниченным потоком требований.

По числу каналов обслуживания различают одноканальные и многоканальные системы.

По числу фаз обслуживания – однофазные и многофазные (последовательная обработка требований на нескольких каналах).

Вместо заключения:

В жизни почти всегда бывает так, что человек, владеющий разными инструментами (по своей профессии) и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается лучших результатов, чем человек, владеющий лишь универсальным приемом.

В одних случаях можно выполнить вычисления устно, в других – необходим лист бумаги для расчетов, в-третьих – расчет на компьютере, в-четвертых – привлечение специальной программы оптимизационных расчетов.

Нужно знать и уметь пользоваться универсальными и частными приемами, которые ведут к цели быстрее и легче.

Афоризмы классиков математического моделирования:

Математика имеет хороший инструмент. Экономика обладает хорошим материалом. Экономико-математические методы – это совмещение хорошего инструмента с хорошим исходным материалом.