Формулы численного дифференцирования

Рассмотрим 1-ую формулу Ньютона И.М.:

дифференцируем по х:

Формулу в (5.1) дифференцируем по у:

В формулах (5.1) и (5.2) решение можно обрывать раньше. При этом, если в этих формулах до k, то мы получим производную И.М., которая интерполирует функцию не во всех (), а только () точках.

Пусть в (5.1) и (5.2) , т.е. q=0, получаем:

(5.3)

(5.4)

На практике удобнее дифференцировать не односторонние формулы (1,2 формулы Ньютона), а центральные (формулу Стирлинга), так как узлы интерполяции располагаются симметрично относительно начальной точки x₀. Возьмём в формуле Стирлинга первые три слагаемых (интерполяция по трём точкам x_-1,x₀,x₁), получим:

Если же в формуле Стирлинга взять не 3, а 5 первых слагаемых (интерполяция по 5-ти точкам x_-2,x_-1,x₀,x₁,x₂) продифференцируем и подставим , то получим:

Если взять 3 первых слагаемых и продифференцировать дважды по q, то получим: