П.2.Метод Монте-Карло в ЧИ

Обычные (невероятностные) методы ЧИ хорошо работают только лишь при интегрировании функций небольшого количества переменных. При росте количества переменных, число узлов интегрирования стремительно растёт (экспоненциально).

Например, пусть необходимо найти интеграл 10-ти переменных с шагом h=0,1 по каждому измерению:

итого измерений – в подобном случае применяют метод Монте-Карло.

Рассмотрим первый вариант метода Монте-Карло:

{среднему значению на кубе, как известно из мат. анализа среднее значение функции равно , следовательно, для функций многих переменных }.

В то же время, как известно из теории вероятности, среднее эмпирическое значение при увеличении количества испытаний стремится к точному значению.

В нашем случае эмпирическое среднее (для N испытаний)

, таким образом, для нахождения мы N раз находим значение функции f в N точках , каждая из которых имеет n координат, при этом, каждая координата – случайное число на отрезке [0,1]. Итак, random нам потребуется вызвать n*N раз.

При каждом запуске метода Монте-Карло мы будем получать новые значения , но все они

П.2. Второй вариант метода Монте-Карло (интегрирование не по n-мерному кубу, а по некоторой произвольной n-мерной области D).

Необходимо найти:

где П – прямоугольный параллелепипед ограничивающий область D.

П=

Чтобы получить равномерное распределение на , берем random*- все остальные вычисления аналогичны случаю n-мерного куба.

Недостатки:

Основная проблема, что в предложенном выше методе мы не можем достоверно оценить вероятность отклонения от , мы знаем только лишь, что M()=, т.е. при бесконечном количестве испытаний =. А оценить разброс от мы не можем, т.к. не знаем дисперсию.