Продажи, у Заработная плата, х

ПРИМЕР 10

МЕТОДЫ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗОВ

Модели причинного прогнозирования обычно содержат ряд переменных, которые имеют отношение к предсказываемой пере­менной. Как только эти переменные будут найдены, строится статистическая модель, которая используется для прогноза инте­ресующей нас переменной. Этот подход является более мощным, чем методы временных серий, которые используют прошлые зна­чения для прогнозируемой переменной.

Многие факторы могли бы рассматриваться в причинном анализе. Например, продажи товара могут быть связаны с расхо­дами фирмы на рекламу, с назначаемой ценой, с делами конку­рентов и стратегиями продвижения товаров или даже с экономи­ческими условиями и безработицей. В этом случае продажи будут называться зависимой переменной, а другие переменные будут называться независимыми переменными. Работа менеджеров за­ключается в установлении наилучшей статистической зависимос­ти между продажами и независимыми переменными. Наиболее общей количественной моделью причинного прогнозирования является модель линейного регрессионного анализа.

Использование регрессионного анализа для прогнозирова­ния. Мы можем использовать такие математические модели, ко­торые применяли как метод наименьших квадратов в трендовом проектировании, преобразовав их к моделям линейной регрессии. Зависимая переменная, которую мы хотим спрогнозировать, будет обозначаться у. Но теперь независимая переменная х – это не время.

у = а + bх,

где у – значение зависимой переменной, здесь – объем продаж;

a – отрезок, отсекаемый на оси у;

b – наклон линии регрессии;

х – независимая переменная.

Строительная компания реконструирует старые дома. По истечении времени компания нашла, что ее объем работ по реконструкции связан с уровнем местной заработной платы. Таблица ниже содержит данные о годовых доходах и суммах денежных доходов в 1987 – 1992 годах.

2.0 1

3.0 3

2.5 4

2.0 2

2.0 1

3.5 7

Служба менеджмента компании хочет представить математическую взаимо­связь, которая будет помогать ей предсказывать продажи. Первое, что необходимо определить, имеет ли место линейная связь между заработной платой и продажа­ми; для этого наносятся известные данные на диаграмму рассеивания.

На диаграмме показано шесть точек данных, которые отражают положитель­ную зависимость между независимой переменной, заработной платой и зависимой переменной, продажами. Когда зарплата возрастает, продажи компании имеют тенденцию к повышению.

Мы можем найти математическое уравнение регрессии, используя метод наименьших квадратов.

Продажи, у	Зарплата, х	х2	ху
2.0			2.0
3.0			9.0
2.5			10.0
2.0			4.0
2.0			2.0
3.5			24.5
Σх = 15.0	Σу = 18	Σх2 = 80	Σху = 51.5

= Σ х / 6 = 18 / 6 = 3;. = Σ у / 6 = 15 / 6 = 2,5,

Уравнение регрессии, следовательно, будет:

у = 1.75 +.25 х,

или:

Продажи = 1,75 +.25 Зарплата.

Если местная коммерческая служба определит, что зарплата в регионе будет $ 600000000 в следующем году, мы можем прогнозировать продажи строительной компании по уравнению регрессии:

Продажи (в млн. $) = 1.75 – 1.25 (6)

или:

Продажи = $325000.

Заключительная часть примера 10 иллюстрирует главную сла­бость методов прогнозирования на базе регрессии. Даже когда мы рассчитали уравнение, необходимо проводить прогноз независи­мой переменной х (в этом случае заработной платы), прежде чем определять зависимую переменную у для следующего периода времени. Хотя это – проблема не для всех прогнозов, следует представлять себе сложности в определении будущих значений таких общих независимых переменных, как уровень безработицы, валовой национальный продукт, индексы цен и т. д.

Прогноз продаж $325000 в примере 10 называется точкой оценки для у. Точка оценки является реальным значением, или ожидаемой величиной, возможных объемов продаж дистрибьюте­ров. Рис. 4.6 иллюстрирует этот подход.

Измеряя точность регрессионных оценок, нам необходимо рассчитать стандартную ошибку прогноза S_y,x. Ее называют стан­дартным отклонением уравнения регрессии. Уравнение (4.11) мы находим в большинстве книг по статистике для расчета стандарт­ного отклонения арифметических значений:

где Y – значение У для каждой точки данных;

Y_C – расчетное значение зависимой переменной из уравнения регрессии;

п – число точек данных.

Уравнение (4.12) может показаться более общим, но это только версия уравнения (4.11). Та и другая формулы требуют общих данных и могут быть использованы на прогнозируемых интерва­лах вокруг оцениваемой точки.