Стохастических зависимостей

Использование способов парной корреляции для изучения

Для решения этой задачи определение влияния факторов на величину результативного показателя (в абсолютном измерении) подбирается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямолинейной, криволинейной и т.д.). От корректного выбора уравнения регрессии (зависимости) зависит ход решения задачи и результаты расчетов.

Обоснование уравнения связи выполняется сопоставлением данных параллельных рядов, группировкой данных и графических зависимостей. Размещение точек на графике покажет, какая зависимость образовалась между изучаемыми показателями: прямолинейная или криволинейная.

Наиболее простым уравнением парной регрессии, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой:

Y_х=a+bx,

где х - факторный показатель; Y - результативный показатель; а и b - параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать.

Это уравнение описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением факторного показателя на определенную величину наблюдается равномерное возрастание или убывание значений результативного показателя.

В качестве примера для иллюстрации корреляционного анализа прямолинейной зависимости могут быть использованы сведения об изменении уровня выработки (y) в зависимости от уровня фондовооруженности труда (х) (табл. 4).

Таблица 4

Зависимость выработки рабочих (y) от фондовооруженности труда (x)

№
x	3,1	3,4	3,6	3,8	3,9	4,1	4,2	4,4	4,6	4,9
y	4,5	4,4	4,8	5,0	5,5	5,4	5,8	6,0	6,1	6,5

Значения коэффициентов а и b находят из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов. В данном случае система уравнений имеет следующий вид:

;

,

где п - количество наблюдений(в примере - 10).

Значения,,, рассчитываются (табл. 5) на основе фактических исходных данных (см. табл. 4).

Таблица 5

Расчет производных данных для корреляционного анализа

п	x	y	ху	x2	y2	Yx
	3,1	4,5	13,95	9,61	20,25	4,28
	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,65
	3,6	4,8	17,28	12,96	23,04	4,90
	3,8	5,0	19,00	14,44	25,00	5,15
	3,9	5,5	21,45	15,21	30,25	5,28
	4,1	5,4	22,14	16,81	29,16	5,52
	4,2	5,8	24,36	17,64	33,64	5,65
	4,4	6,0	26,40	19,36	36,00	5,90
	4,6	6,1	28,06	21,16	37,21	6,15
	4,9	6,5	31,85	24,01	42,25	6,28
Итого			219,45	162,76	296,16	53,75

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:

10 a + 40 b = 54;

40 a +162,76 b = 219,45.

Умножив все члены первого уравнения на 4, получим:

40 a + 160 b = 216;

40 а + 162,76 b = 219,45.

Вычтя из второго уравнения первое, получаем, что 2,76 b = 3,45. Oтсюда b = 3,45/2,76= 1,25.

.

Уравнение связи, описывающее зависимость производительнос труда от фондовооруженности, получило следующие выражение:

Y_x = 0,4+ 1,25 x.

Коэффициент а - постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр b показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением фондовооруженности труда на 1 тыс. руб. выработка рабочих повышается в среднем и 1,25 тыс. руб.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выравненные (теоретические) значения результативного показателя (Y_x) для каждого предприятия. Например, чтобы рассчитать рассчитать выработку рабочих на первом предприятии, где фондово­оруженность труда равна 3,1 тыс. руб., необходимо это значение подставить в уравнение связи:

Y_x= 0,4+ 1,25 3,1 =4,28.

Полученная величина показывает, какой была бы выработка при фондовооруженности труда 3,1 тыс. руб., если бы данное предприятие использовало свои производственные мощности, как в среднем все предприятия этой выборки. Фактическая выработка на данном предприятии выше расчетного значения. Следовательно, предприятие использует свои производственные мощности несколько лучше, чем в среднем по отрасли. Аналогичные расчеты сделаны для каждого предприятия. Данные приведены в последней графе табл. 5. Сравнение фактического уровня выработки рабочих с расчетным позволяет оценить результаты работы отдельных предприятий.

По такому же принципу решается уравнение связи при криволинейной зависимости между изучаемыми явлениями. Если при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:

Y_x=a+bx+cx².

В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и с необходимо решить следующую систему уравнений:

;

;

;

Параметры а, b и с находят способом определителей или способом исключения.

Довольно часто в экономическом анализе для записи криволинейных зависимостей используется гипербола:

.

Гипербола описывает такую зависимость между двумя показателями, когда при увеличении одной переменной значения другой увеличиваются до определенного уровня, а потом прирост снижается, например, зависимость себестоимости продукции от объема производства и т.д.

Для определения ее параметров необходимо решить следующую систему уравнений:

;

.

При более сложном характере зависимости между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, четвертого порядка и т.д.), а также квадратические, степенные, показательные и другие функции.

Таким образом, используя тот или иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости между изучаемыми явлениями, т.е. узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: тесная это связь или нет, решающее воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя или второстепенное?

Для измерения тесноты связи между факторными и результативными показателями определяется коэффициент корреляции.

В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по следующей формуле:

= = 0,97.

Коэффициент корреляции может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является существенной (r = 0,97). Это позволяет сделать вывод о том, что фондовооруженность – один из основных факторов, от которых на анализируемых предприятиях зависит уровень производительности труда.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации (d = 0,94). Он показывает, что что производительность труда на 94% зависит от фондовооруженности труда, а на долю других факторов приходится 6% изменения ее уровня.

Что касается измерения тесноты связи при криволинейной форме зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционное отношение:

, где;.

Показатель коэффициента корреляции 𝜂 является универсальным. Его можно применять при любой форме зависимости. Однако для определения его величины вначале необходимо решить уравнение регрессии и рассчитать выравненные значения результативного показателя (y_х), для чего в полученное уравнение нужно подставить значения х и х² для каждого наблюдения исследуемой выборки (см. колонку. 7 в табл. 5).

В заключение необходимо отметить, что методика способов парной корреляции может быть использована для исследования соотношений между разными экономическими показателями, что позволяет значительно углубить знания об изучаемых явлениях, определить место и роль каждого фактора в изменении уровня исследуемого показателя.