Пример. Для заданной схемы нагружения стержня (рис

Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 52) построить эпюры поперечной силы Q_y(z) и изгибающего момента M_x(z) при следующих исходных данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.

Рис. 52

Решение.

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:

Q_y (z) = Q_y(0) │₁ – P - q×(z - l) │₂,

M_x (z) = M_x (0) + Q_y(0)×z│₁ - P×(z - l) - q×(z - l)²/2│₂.

В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: M_x (0) = - L,

M_x (3l) = 0.

Для нахождения неизвестной реакции Q_y (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:

M_x (3l) = M_x (0) + Q_y (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l)²/2 = 0.

Решая это уравнение относительно Q_y (0), получим Q_y (0) = 21.67кН.

Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:

Q_y (z) = 21.67│₁ – P – q×(z - l) │₂,

M_x (z) = -L + 21.67z│₁ – P×(z - l) – q×(z - l)²/2│₂.

Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.

1 участок 0 ≤ z ≤ l:

Q_y (0) = 21.67 кН,

Q_y (l) = 21.67 кН,

M_x (0) = -5 кНм,

M_x (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.

2 участок l ≤ z ≤ 3l:

Q_y (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,

Q_y (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,

M_x (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,

M_x (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.

Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:

Q_y (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.

M_x (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l)²/2 = 20.07 кНм.

По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (рис. 52).