Вынужденные колебания системы

Рис.84

Рис.83

Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода

Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.

Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода ):

То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина .

Натуральный логарифм ее, равный называется логарифмическим декрементом колебаний.

Конечно, через период амплитуда уменьшится в раз, а через m периодов – в раз.

б) Случай большого сопротивления (n>k).

Корни характеристического уравнения получатся вещественными: В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10):

(13)

Решение явно неколебательное, непериодическое.

Графики таких движений показаны на рис.84. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n.

в) Случай равного сопротивления (n = k).

Корни характеристического уравнения получаются равными: . Поэтому решение дифференциального уравнения

(14)

Движение и в этом случае не будет колебательным.

Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным. И эта сила называется возмущающей силой.

Рассмотрим колебательное движение под действием обобщенной возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону где - максимальная величина возмущающей силы; р – частота изменения силы; – начальная фаза изменения силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получится таким

(15)

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Общее решение уже было получено в (7) или (8). Частное решение ищем в виде

Подставив его в дифференциальное уравнение (15), получим

Отсюда

(16)

Значит полное решение уравнения (15)

(17)

Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами, то вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени довольно быстро затухают. Поэтому интерес представляют только установившиеся колебания:

(18)

Отсюда следует, что установившиеся вынужденные колебания будут гармоническими с частотой р, равной частоте возмущающей силы и, что они не зависят от начальных условий.

И, самое интересное, – амплитуда колебаний А зависит от частоты р возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис.85.