Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению

Рис.82

Назначим обобщенной координатой смещение z груза по вертикали от положения равновесия, при котором пружина была растянута на величину .

Тогда потенциальная энергия относительно положения равновесия Где - полная деформация пружины, а - потенциальная энергия пружины в положении равновесия, которую вычитаем из потенциальной энергии полностью деформированной пружины. Раскрыв скобки, получим

В положении равновесия должно выполняться условие . Отсюда значит,

Кинетическая энергия системы

Составив уравнение Лагранжа, получим или Сравнивая с (6), находим частоту колебаний и затем период

Пример 28. Определим период малых колебаний балочки АВ на цилиндрической поверхности (см. пример 26).

Потенциальная и кинетическая энергии определены. Разложим их в ряд с точностью до малых величин второго порядка. Для этого достаточно положить а Получим Кинетическая энергия получится такой (отбросив член четвертого порядка - ):

Составляем уравнение Лагранжа. Определив производные

получим уравнение Приводим его к форме (6): Поэтому частота малых колебаний и период

Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.

Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления Обобщенная сила, соответствующая этим силам,

Скорость точек так как - сложная функция, а Поэтому Значит,

Обозначим Тогда обобщенная сила сопротивления

Заметим, что по форме эта функция аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): (коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению

(9)

Функция называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы.

После подстановки в уравнение Лагранжа , получим дифференциальное уравнение или

(10)

где - коэффициент сопротивления, - частота свободных колебаний без сопротивления.

Найдем решение уравнения (10). Характеристическое уравнение: Корни его могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.

а) Случай малого сопротивления (n < k).

Корни получаются комплексными где . Решение дифференциального уравнения ищем в виде

(11)

или

(12)

где постоянные и или и находятся по начальным условиям.

Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная , не постоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими.