2014-02-02
3439
Пример
Пример
Пример
Решение:
Заменим последовательные звенья 1 и 2 на звено 12:
;
Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:
;
Найдем передаточную функцию всей системы:
.
Решение:
Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:
;
Замени последовательные звенья 3, 34 и 5 на звено 2345:
;
Найдем передаточную функцию всей системы:
.
Построить временные и частотные характеристики для элементарного звена 2-го порядка дифференциальное уравнение которого:
.
Рассмотреть:
Решение:
;
;
;
;
.
;
.
.
Рассмотрим временные характеристики:
.
;
;
.
Комплексная частотная характеристика:
;
.
Термин пространства состояний получил широкое распространение в ТАУ для описания динамики систем во временной области. Этот термин является новым названием различных математических процедур, которые ранее использовались в аналитической динамике, квантовой механике, теории устойчивости.
Применение этого метода в ТАУ было определено работами Понтрягина, Беллмана (метод динамического программирования), Калмана.
Метод пространства состояний обладает рядом преимуществ при решении задач многомерных и сложных систем:
- четкая формализация в постановке различных задач в управлении;
- возможность решения задач с большим числом управляемых и управляющих переменных;
- простота алгоритмизации вычислительных процедур;
- ясность (наглядность) математических формулировок при решении задач.
В методе пространства состояний динамика системы представляется зависимостью между тремя множествами переменных 
, 
, 
. Вход системы выражается либо множеством временных функций 
, либо множеством временных последовательностей для дискретных систем 
, 
. Выход системы 
представляет собой описание непосредственно наблюдаемого поведения системы.
Основное свойство любой динамической системы заключается в том, что ее поведение в любой момент времени зависит не только от переменных действующих на нее в данный момент времени (от пары , ), но и от переменных действующих на нее в прошлом (
, 
), т.е. система обладает памятью, позволяющей учитывать вклад переменной, действующей на нее в прошлые моменты времени до наблюдения ее поведения.
Математическое описание динамической системы времени приводит к подчеркиванию и формализации в направлении причинности от прошлого к будущему.
Поведение и свойства динамической системы можно охарактеризовать понятием состояния системы, которому соответствует определенная точка в евклидовом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. Размерность пространства равна порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение.
Движение конца вектора состояний в пространстве состояний называется траекторией конца вектора состояний.
В пространстве состояний координатами вектора состояний 
являются переменные системы уравнений, записанные в нормальной форме Коши. (Описание системы дифференциальных уравнений 1-ого порядка называется описанием в нормальной форме Коши). Число векторов определяет порядок системы при этом координаты вектора состояний необязательно соответствуют реальным физическим величинам.
Описание системы в нормальной форме Коши является первичной моделью в системе пространства состояний.
Связь между 
и :
Связь между и :
‚
Система 
- дифференциальных уравнений и система 
- алгебраических уравнений ‚ является математической моделью САУ в скалярной форме в пространстве состояний:
, где
, 
, 
, 
– параметры системы;
;
.
Другой формой описания САУ в пространстве состояний является векторно-матричная форма, которая имеет вид:
, где
– матрица динамики системы 
;
– матрица входа 
;
– матрица выхода 
;
– матрица усиления по входу 
.
Уравнение динамики системы (эквивалентно уравнению ):
ƒ
Уравнение выхода:
„
Вся информация о свойствах системы содержится в числовых таблицах – матрицах параметрах. При анализе и синтезе САУ можно опираться на стандартные преобразования этих таблиц.
Используя представления ƒ и „ или и ‚ можно определить САУ следующим образом:
- САУ называется детерминированной, если ее выход и состояние в произвольный момент времени
можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент времени 
и по известному входу на интервале 
; - Система называется стохастической, если информация о ее состоянии в некоторый момент времени
и о ее входе на интервале позволяет определить выход и состояние системы в момент времени 
только с определенной вероятностью или другими статистическими методами или средствами; - Система является физически реализуемой, если ее выход и состояние в произвольный момент времени является функцией только тех входов, которые воздействуют на систему до момента .
