double arrow

Математические модели САУ в пространстве состояний


Пример

Пример

Пример

Решение:

Заменим последовательные звенья 1 и 2 на звено 12:

;

Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:

;

Найдем передаточную функцию всей системы:

.

Решение:

Заменим параллельные звенья 3 и 4 на звено 34:

;

Замени последовательные звенья 3, 34 и 5 на звено 2345:

;

Найдем передаточную функцию всей системы:

.

Построить временные и частотные характеристики для элементарного звена 2-го порядка дифференциальное уравнение которого:

.

Рассмотреть:

Решение:

;

;

;

;

.

;

.

.

Рассмотрим временные характеристики:

.

;

;

.

Комплексная частотная характеристика:

;

.

Термин пространства состояний получил широкое распространение в ТАУ для описания динамики систем во временной области. Этот термин является новым названием различных математических процедур, которые ранее использовались в аналитической динамике, квантовой механике, теории устойчивости.

Применение этого метода в ТАУ было определено работами Понтрягина, Беллмана (метод динамического программирования), Калмана.

Метод пространства состояний обладает рядом преимуществ при решении задач многомерных и сложных систем:

  • четкая формализация в постановке различных задач в управлении;
  • возможность решения задач с большим числом управляемых и управляющих переменных;
  • простота алгоритмизации вычислительных процедур;
  • ясность (наглядность) математических формулировок при решении задач.

В методе пространства состояний динамика системы представляется зависимостью между тремя множествами переменных , , . Вход системы выражается либо множеством временных функций , либо множеством временных последовательностей для дискретных систем , . Выход системы представляет собой описание непосредственно наблюдаемого поведения системы.

Основное свойство любой динамической системы заключается в том, что ее поведение в любой момент времени зависит не только от переменных действующих на нее в данный момент времени (от пары , ), но и от переменных действующих на нее в прошлом (, ), т.е. система обладает памятью, позволяющей учитывать вклад переменной, действующей на нее в прошлые моменты времени до наблюдения ее поведения.

Математическое описание динамической системы времени приводит к подчеркиванию и формализации в направлении причинности от прошлого к будущему.

Поведение и свойства динамической системы можно охарактеризовать понятием состояния системы, которому соответствует определенная точка в евклидовом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. Размерность пространства равна порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение.

Движение конца вектора состояний в пространстве состояний называется траекторией конца вектора состояний.

В пространстве состояний координатами вектора состояний являются переменные системы уравнений, записанные в нормальной форме Коши. (Описание системы дифференциальных уравнений 1-ого порядка называется описанием в нормальной форме Коши). Число векторов определяет порядок системы при этом координаты вектора состояний необязательно соответствуют реальным физическим величинам.

Описание системы в нормальной форме Коши является первичной моделью в системе пространства состояний.

Связь между и :



Связь между и :

Система - дифференциальных уравнений  и система - алгебраических уравнений ‚ является математической моделью САУ в скалярной форме в пространстве состояний:

, где

, , , – параметры системы;

;

.

Другой формой описания САУ в пространстве состояний является векторно-матричная форма, которая имеет вид:

, где

– матрица динамики системы ;

– матрица входа ;

– матрица выхода ;

– матрица усиления по входу .

Уравнение динамики системы (эквивалентно уравнению ):

ƒ

Уравнение выхода:

Вся информация о свойствах системы содержится в числовых таблицах – матрицах параметрах. При анализе и синтезе САУ можно опираться на стандартные преобразования этих таблиц.

Используя представления ƒ и „ или  и ‚ можно определить САУ следующим образом:

  • САУ называется детерминированной, если ее выход и состояние в произвольный момент времени можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент времени и по известному входу на интервале ;
  • Система называется стохастической, если информация о ее состоянии в некоторый момент времени и о ее входе на интервале позволяет определить выход и состояние системы в момент времени только с определенной вероятностью или другими статистическими методами или средствами;
  • Система является физически реализуемой, если ее выход и состояние в произвольный момент времени является функцией только тех входов, которые воздействуют на систему до момента .

Сейчас читают про: