Проектирование рекурсивного цифрового фильтра методом билинейного преобразования

  Продолжим рассмотрение схемы рисунка 31. Параметры изображённых на нём элементов компенсации аналогового усилителя сигнала ошибки и частоты, на которых расположены н о ли и полюса его передаточной функции связаны следующими соотношениями, [30], [31]:

 

рад (91);

рад (92);

рад (93);

рад (94);

рад (95).

 

где  ω_z1 [рад] - частота расположения первого н о ля;

    C2 [Ф] - номинал емкости конденсатора C2 схемы рисунка 31;

    R2 [Ом] - номинал сопротивления резистора R2 схемы рисунка 31;

    ω_z2 [рад] - частота расположения второго н о ля;

    C3 [Ф] - номинал емкости конденсатора C3 схемы рисунка 31;

     R1 [Ом] -  номинал сопротивления резистора R1 схемы рисунка 31;

     R3 [Ом] - номинал сопротивления резистора R3 схемы рисунка 31;

    ω_p0 [рад] - частота расположения начального полюса;

        C1 [Ф] - номинал емкости конденсатора C1 схемы рисунка 31;

    ω_p2 [рад] - частота расположения второго полюса;

    ω_p3 [рад] – частота расположения третьего полюса.

 

  Перепишем уравнение, описывающее усилитель сигнала ошибки с компенсацией типа III, выразив его через ω_z1, ω_z2, ω_p0, ω_p2 и ω_p3:

 

(96)

 

где H(s) - передаточная функция усилителя сигнала ошибки с компенсацией типа III;

    ω_p0 [рад] - частота расположения начального полюса;

ω_z1 [рад] - частота расположения первого н о ля;

ω_z2 [рад] - частота расположения второго н о ля;

ω_p2 [рад] - частота расположения второго полюса;

ω_p3 [рад] - частота расположения третьего полюса.

 

  Далее произведём замену, [40], [42], [43]:

 

 . (97)

 

  После замены и последующего упрощения преобразованного выражения получаем:

 

 . (98)

 

  Тогда, коэффициенты спроектированного рекурсивного цифрового фильтра с учётом расчетного расположения нолей и полюсов его передаточной функции будут, соответственно, равны:

 

 

(99)    (100)    (101)    (102)   (103)   (104)    (105)

 

где                a₁ - коэффициент, с которым дискретная последовательность на выходе фильтра проходит на его вход с задержкой на 1 такт;

T_S = 0,625 мкс - период, соответствующий частоте выполнения кода цифрового компенсатора;

      ω_dp2 [Гц] - частота расположения среднего полюса;

      ω_dp3 [Гц] - частота расположения крайнего полюса;

                a₂  - коэффициент, с которым дискретная последовательность на выходе фильтра проходит на его вход с задержкой на 2 такта;

                a3 - коэффициент, с которым дискретная последовательность на выходе фильтра проходит на его вход с задержкой на 3 такта;

               b₀ - коэффициент, с которым дискретная последовательность на входе фильтра проходит на его выход без задержки;

         ω_dp0 [Гц] - частота расположения начального полюса;

         ω_dz1 [Гц] - частота расположения первого ноля;

         ω_dz2 [Гц] - частота расположения второго ноля;

                  b₁ - коэффициент, с которым дискретная последовательность на входе фильтра проходит на его выход с задержкой на 1 такт;

                  b₂ - коэффициент, с которым дискретная последовательность на входе фильтра проходит на его выход с задержкой на 2 такта;

                 b3 - коэффициент, с которым дискретная последовательность на входе фильтра проходит на его выход с задержкой на 3 такта.

 

Выражение для коэффициента передачи дискретного во времени сигнала, G_DS, выглядит следующим образом

 

(106)

 

где G_DS = 0,340200943128 - коэффициент передачи дискретного во времени сигнала;

k_GM [дБ] - запас усиления по амплитуде;

[В] - амплитуда импульсов генератора пилообразного напряжения;

     Vo [В] = Vv1 - номинальное значение напряжения на нагрузке;

f_S [Гц] - частота выполнения кода цифрового компенсатора;

     z₀ = ω_dz0 [Гц] - частота расположения начального ноля;

     z₁ = ω_dz1 [Гц] - частота расположения первого ноля;

     z₂ = ω_dz2 [Гц] - частота расположения второго ноля;

     p₂ = ω_p2 [Гц] - частота расположения среднего полюса;

     p₃ = ω_p3 [Гц] - частота расположения крайнего полюса.