2021-07-07
112
Распределение Максвелла.
Представим себе равновесный газ. Рассмотрим, каким образом в таком газе распределяются молекулы по скоростям. Поскольку газ находится в равновесии, все направления движения молекул равноправны. Тогда, если мы представим себе, что каждой молекуле в декартовой системе координат соответствует некоторая точка (вследствие малости размеров). В этой точке соответственно можно представить вектор скорости 
, имеющий компоненты в декартовой системе координат 
. А вектора скорости создадут как бы пространство скоростей. Какова вероятность того, что х – составляющая скорости молекулы лежит между 
и 
, а остальные составляющие могут быть какими угодно? Ясно, что эта вероятность должна быть пропорциональна 
(см. выше), а коэффициент пропорциональности будет являться функцией , т.е. 
. Обозначим эту вероятность 
. Величина также называется функцией распределения.
Совершенно аналогично, что 
будет являться вероятностью того, что 
молекулы заключена в интервале между и 
. А составляющие и 
могут быть какими угодно. Наконец 
есть вероятность того, что z-составляющая скорости молекулы лежит между и 
, причем и могут быть какими угодно.
|
|
|
Назовем ради краткости попадание молекулы в скоростные интервалы (), (), (), о которых шла речь выше событиями А, В, С соответственно. Определим вероятность 
того, что молекула попадает в элемент объема скоростного пространства 
. Такое попадание есть сложное событие, являющееся произведением событий А, В, С. Максвелл ввел предположение, что события А, В, С независимы. В этом случае теорему умножения вероятностей можно применить в ее простейшей форме:
Т.о., мы принимаем, что вероятность того, что скоростная точка молекулы одновременно окажется внутри всех трех интервалов (), (), () должна выражаться произведением:
Однако для той же вероятности мы записали , где . Из сравнения получаем, что:
(1)
Положительные и отрицательные направления координатных осей в газе абсолютно эквивалентны. Поэтому должно быть равенство 
. Это означает, что функция φ может зависеть только от модуля или, что тоже самое, от квадрата скорости . Точно также ввиду изотропии газа функция f может зависеть только от ее направления. Вместо квадратов скоростей удобнее взять в качестве аргументов соответствующие кинетические энергии: 
, 
, 
, 
.
При переходе к новым аргументам сами функции условимся обозначать теми же буквами φ и f, хотя аналитически это другие функции.
Тогда уравнение (1) запишется в виде:
(2)
Этим уравнением (2) и определяется вид функции φ и функции f. Вид самой функции распределения был получен Максвеллом и для 
имеет вид:
|
|
|
, (3)
где А и α – некоторые постоянные.
Коэффициент А определяется из условия:
(4)
Соответствующий расчет дает для этого коэффициента значение 
, значение постоянной 
. Тогда переходя к функциям и 
можно окончательно получить:
(5)
(6)
или подставляя вместо кинетической энергии ее значение:
(7)
(8)
Формула (8) и есть окончательная формула, выражающая максвелловский закон распределения скоростей. Она применима не только к газам, но и к жидкостям и к твердым телам во всех случаях, когда можно пользоваться классическим способом описания движения. График функции (8) имеет вид:
Наиболее вероятной будет, очевидно, скорость, отвечающая максимуму функции . Ее значение 
можно найти, приравняв нулю производную 
. Опустив в выражении (8) множители, не зависящие от 
, получим для нахождения соотношение:
Для решения функцию f лучше рассматривать как функцию аргумента 
, тогда: 
, откуда:
(9)
Средняя или среднеарифметическая скорость молекулы определяется по формуле:
Подставляя сюда значение и интегрируя получим:
Найдем теперь еще среднеквадратичную скорость, определяющую среднюю кинетическую энергию молекулы 
, откуда:
Умножив числитель и знаменатель на постоянную Авогадро и учтя, что kNA=R, а mNA=M – молярной массе газа, получим:
; 
; 
Барометрическая формула.
Атмосферное давление убывает с высотой. Найдем функцию p(h), которая описывает зависимость давления от высоты. Выделим мысленно в атмосфере вертикальный столб сечением S, равным 1.
|
|
|
Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом столба воздуха, простирающегося от сечения, расположенного на данной высоте, до внешней границы атмосферы. Поэтому убыль давления – dp при переходе от высоты h к высоте h+dh равна весу воздуха, заключенного в элементе столба высоты dh:
,
где ρ – плотность воздуха на высоте h.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона 
, тогда
,
где М – молярная масса воздуха.
Разделив переменные, придем к уравнению:
Считая, что температура T(h)=const, интегрирование уравнения дает:
после потенцирования получим:
Положив h=0, получим, что C=p0 – атмосферное давление на высоте, принятой за начало отсчета.
Т.о. для изотермической атмосферы зависимость давления от высоты описывается формулой:
,
которая называется барометрической формулой.
Распределение Больцмана.
Итак, выше мы получили барометрическую формулу: (1)
Заменим отношение М/R равным ему m/k (m – масса, k – постоянная Больцмана), а вместо р запишем nkT. Тогда получим:
(2)
Формула (1) была получена для изотермической атмосферы, поэтому kT можно сократить:
(3)
где n – плотность молекул (концентрация) на высоте h, n0 – концентрация на высоте h=0. Формула (3) описывает распределение концентрации молекул по высоте в изотермической атмосфере.
Выражение mgh представляет собой потенциальную энергию молекулы 
.
Тогда формулу (3) можно записать в виде:
(4)
Здесь n0 – концентрация молекул в том месте, где принята равной нулю, n – концентрация молекул там, где потенциальная энергия равна .
|
|
|
Больцман доказал, что формула (4) справедлива в случае потенциального силового поля любой природы для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
В связи с этим функцию (4) называют распределением Больцмана.
