Статистические распределения. Элементарная теория вероятностей

Статистические распределения. Элементарная теория вероятностей.

 

    Все окружающие нас тела, независимо от агрегатного состояния состоят из огромного количества атомов и молекул. И когда мы говорим о каких-либо физических величинах, встречающихся в термодинамике (как и вообще в любом другом разделе макрофизики) имеют смысл средних значений, которые принимают при определенных условиях какие-то функции микросостояния системы. Про величины такого рода говорят, что они имеют статистический характер или являются статистическими.

    Эти величины подчиняются определенным закономерностям, не свойственным отдельным атомам или молекулам. В качестве такой статистической закономерности можно привести пример с подбрасыванием монеты. Из этого примера также следует, что предсказания, которые делаются на основе статистических законов, не являются абсолютно достоверными, а носят характер прогнозов, которые могут и не оправдаться. Почти все законы макроскопической физики являются статистическими. А практически абсолютно достоверными их делают только колоссальные количества атомов и молекул в макроскопических телах.

С чисто математической точки зрения, отвлекающейся от конкретного смысла рассматриваемых величин, статистические закономерности излагаются теорией вероятности.

    Событиями или случаями в теории вероятностей называют всякие явления, относительно которых имеет смысл ставить вопрос, могут они происходить или нет.

    Если при данных условиях события обязательно произойдет, то оно называется достоверным. Если же оно произойти не может, то – невозможным.

    Событие называется случайным, если в результате испытания оно может как произойти так и не произойти.

    Вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления. Вероятностью события называется отношение числа равновозможных случаев, благоприятных этому событию, к числу всех равновозможных случаев, которые могут встретиться при испытании.

    Достоверное и невозможное события можно рассматривать как предельные случаи случайных событий. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного – нулю.

    В теории вероятности также доказываются теоремы сложения и теоремы умножения  вероятностей.

    Если событие В является суммой событий А₁ и А₂ (монета), то Р(В)=Р(А₁+А₂)=Р(А₁)+Р(А₂)

    Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.

Если А и В статистически независимы, то:

Рассмотрим совокупность большого числа N одинаковых молекул в равновесном состоянии. Предположим, что некоторая величина х, характеризующая молекулу может принимать ряд дискретных значений х₁, х₂, х₃,…

    Если бы удалось измерить одновременно значение величины х у всех N молекул, то оказалось бы, что у N₁ молекул =величина х имеет значение х₁, у N₂ молекул – значение х₂,……, у N_i – значение x_i.

    В соответствии с определением вероятности события получим, что:

,

где P_i – вероятность того, что величина х имеет значение x_i.

    Т.к. вероятность значения x_i величины х равна P_i, то у N_i=P_iN молекул х имеет значение x_i. Сумма значений величины х у этих N_i молекул будет равна N_ix_i=P_iNx_i. Сумма же значений х у всех N молекул определяется выражением:

Разделив эту сумму на N, найдем среднее (по молекулам) значение величины х:

Полученная формула позволяет, зная вероятность различных значений величины х, вычислить среднее значение этой величины.

    Рассмотрим случай, когда характеризующая молекулу величина х принимает непрерывный ряд значений от х=а до х=b. Вычислим вероятность того, что величина х имеет значения, заключенные в пределах интервал dx в окрестностях значения х (причем х принадлежит интервалу dx). Вероятность этого события при бесконечно малом dx должна быть пропорциональной dx. Кроме того, она зависит от того, в каком месте оси х расположен интервал dx, т.е. является функцией х:

,

где f(x) – функция распределения вероятности или плотность вероятности.

    Если мы имеем дело с молекулами, то умножив dP_x на полное число молекул N, получим количество молекул dN_x, обладающих значениями х, заключенными в пределах данного интервала dx:

Интеграл от dN_x, взятый по всему интервалу возможных значений х должен равняться полному числу молекул N

Отсюда следует, что:    

    Из последней формулы следует, что площадь, ограниченная графиком функции f(x), равна 1.

Выражение xdN_x  дает сумму значений х, которыми обладают dN_x молекул. Сумма таких выражений, т.е.:

дает сумму значений х всех N молекул. Разделив эту сумму на N, получим среднее (по молекулам) значение величины х:

Подставив в формулу вместо х некоторую функцию этой величины φ(х), придем к формуле:                

По этой формуле можно вычислить, например, среднее значение х².

.