Поверхностное натяжение

Поверхностное натяжение.

 

    На молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул. Если молекула находится внутри жидкости и удалена от ее поверхности на расстояние, превышающее радиус сферы молекулярного действия, то, эти силы в среднем уравновешиваются. Если же молекула находится в приграничном слое, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия, то появляется результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Поэтому для извлечения молекулы из внутренних частей жидкости на ее поверхность требуется затрата работы.

    Работа, которую надо затратить, чтобы изотропически и квазистатически увеличить поверхность жидкости на единицу, при сохранении ее объема неизменным, называется коэффициентом поверхностного натяжения или просто поверхностным натяжением.

    Известно, что изотермическая работа равна убыли так называемой свободной энергии системы (т.е. может быть названа свободной энергией системы). Свободную энергию жидкости, на которую не действуют внешние силы, можно представить в виде:

,

где _об – объемная составляющая свободной энергии, а _пов – поверхностная.

    Первая составляющая пропорциональна объему, вторая поверхности жидкости (при условии, что плотность жидкости к ее температура поддерживаются постоянными). Для поверхностной составляющей свободной энергии можно записать:

,

где F – площадь поверхности жидкости, σ – поверхностное натяжение.

    Т.о. поверхностное натяжение можно определить как свободную поверхностную энергию жидкости, приходящуюся на единицу ее поверхности.

    Объемной частью энергии можно полностью пренебречь в одном предельном случае. Это случай, когда жидкость существует в форме тонких пленок. Примером могут служить мыльные пленки.

    В этих случаях говорят, что жидкость находится в пластинчатом состоянии. В таких состояниях явления, связанные с поверхностным натяжением, выступают в наиболее простом и чистом виде, поскольку на них не накладываются эффекты, обусловленные объемными свойствами тел.

Мы будем проводить многие рассуждения применительно к жидкостям в пластинчатом состоянии, так как это облегчает рассуждения. Полученные результаты будут справедливы не только для жидких пленок, но и для жидкостей вообще. Надо только брать пленки, толщина которых не меньше диаметра сферы молекулярного действия.

    Почему же величину σ называют поверхностным натяжением? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий опыт. Возьмем проволочный каркас, имеющий форму прямоугольника.

 

    Сторона СD каркаса может свободно скользить вдоль направляющих проволок АС и ВD. Затянем площадь АВСD мыльной пленкой. Пленка эта двойная. Она подобно листу бумаги имеет две стороны – переднюю и заднюю – и состоит из двух одинаковых простых пленок, между которыми находится жидкость. Опыт показывает, что пленка стремится сократиться, и перемычка CD приходит в движение вверх. Для удержания перемычки в равновесии к ней надо приложить определенную силу, например, подвесить грузик. Так как пленка состоит из двух простых пленок, то величину этой силы удобно обозначит посредством 2f, считая, что на каждую пленку действует сила f. Найдем эту величину. Поддерживая температуру постоянной, увеличим силу f на бесконечно малую величину. Тогда перемычка CD начнет бесконечно медленно перемещаться вниз. При перемещении перемычки на расстояние Δх над пленкой будет совершена работа ΔА=2fΔx. При этом площадь поверхности пленки увеличится на , где а – длина CD, а ΔF – увеличение поверхности каждой простой пленки, из которых состоит двойная пленка. По определению поверхностного натяжения работа ΔА может быть представлена в виде: . Приравнивая оба выражения, получим:

Отсюда видно, что пленка находится в состоянии натяжения. В таком же состоянии натяжения находится вообще поверхность всякой жидкости. Это означает следующее.

    Тогда каждая из половин разрезанной пленки будет действовать на линию разреза с определенной силой, имеющей характер натяжения, касательной к пленке и перпендикулярной к линии разреза.

    Сила, отнесенная к единице длины линии разреза, и есть поверхностное натяжение σ.

    Мы рассмотрели вопрос о возможности механического равновесия между тремя средами при наличии на границах раздела сил поверхностного натяжения. Мы пренебрегли в расчетах силой веса и гидростатического давления и записали условие равновесия в виде:

                                      (1)

сведя задачу к равновесию трех сил  приложенных в одной точке 0.

    В качестве примера такой системы мы рассмотрим каплю жидкости на поверхности другой жидкости: каплю жира на поверхности воды. Получим связь между углами, под которыми сходятся поверхности раздела и силами поверхностного натяжения.

    По аналогии мы рассмотрим поведение капли на поверхности твердого тела. Разница, как мы покажем, лишь в том, что поверхность твердого тела не деформируется.

    Условие для краевого угла :

                                          (2)

Краевой угол обычно выбирают так, чтобы он включал область, занятую жидкостью 2.

    Когда , то условие 2 не может быть удовлетворено.

Капля жидкости 2 не находится в равновесии, а растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например керосин по поверхности жести или стекла). В этом случае говорят, что жидкость полностью смачивает поверхность твердого тела.

    В другом случае, когда , т.е. , так же не существует никакого угла , который бы удовлетворял условию 2. Жидкость стягивается в шаровую каплю, несколько сплюснутую силой тяжести. (Например, капля ртути на поверхности стекла или капля воды на поверхности парафина.) В этом случае говорят, что жидкость полностью не смачивает поверхность твердого тела.

    В большинстве случаев имеет место частичное смачивание (когда )

или частичное несмачивание (когда )

    Явление краевого угла наблюдается у стенок сосудов, когда в них налита жидкость. Величина краевого угла здесь также определяется формулой 2.

    Именно несмачиванием твердых тел жидкостями объясняются многие явления в природе. Например: а) На поверхность воды можно положить лист алюминия. Он не утонет, даже если на него положить небольшой груз. б) Стальная иголка (в особенности, если она покрыта тонким слоем парафина) не тонет, если ее осторожно положить на поверхность воды. в) Возьмем сито с металлической сеткой. Погрузим в расплавленный парафин, а затем встряхнем, чтобы парафин не заполнил отверстия в сетке. После этого на дно сита положим лист бумаги и нальем воды в него. Осторожно вытянем лист бумаги. Вода не будет выливаться через отверстия сетки.

 

Капиллярные явления.

    Если поверхность жидкости – кривая, то при равновесии давления по разные стороны ее должны быть разными. Данное явление также обусловлено силами поверхностного натяжения. Рассмотрим сначала простейший случай, когда жидкость ограничена боковой поверхностью прямого круглого цилиндра. Представим себе поперечное сечение такого цилиндра.

    Выберем на поверхности цилиндра бесконечно малый участок АВ, стягиваемый центральным углом φ. На его боковые стороны действуют касательные силы lσ (где l – длина цилиндра). Равнодействующая этих сил направлена параллельно радиусу цилиндра С0 и равна: , или , т.к. угол φ выбран бесконечно малым (при этом sinφ≈φ). Подставляя сюда φ=a/R, где а – длина дуги АВ, а R – радиус цилиндра, получим:

,                                         (1)

где S=ab – площадь бесконечно малого прямоугольного участка на боковой поверхности цилиндра. Разделив силу F на площадь S, найдем разность давлений внутри и снаружи:

                                         (2)

    Обобщим формулу 2 на случай, когда жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны. С этой целью возьмем на поверхности жидкости четыре точки А, В, С, D, находящиеся в вершинах бесконечно малого прямоугольника. Проведем через А и D, В и С и т.д. плоскости, перпендикулярные к поверхности жидкости.

 

(На рисунке изображены только две плоскости проведенные через АD и ВС. Они пересекаются вдоль бесконечно малого отрезка 00’)

    В результате получится бесконечно малый криволинейный прямоугольник АВСD. Его стороны могут рассматриваться как бесконечно малые дуги окружности. Пусть R₁ – радиус кривизны дуги АВ. Радиус кривизны дуги DС отличается от R₁ бесконечно мало. На противоположные стороны АD и ВС действуют касательные силы поверхностного натяжения. Результирующая этих сил нормальна к поверхности жидкости. Ее величина, как мы уже нашли ранее равна: , где S – площадь прямоугольника АВСD.

    Рассуждая также найдем, что результирующая касательных сил поверхностного натяжения, действующих на противоположные стороны АВ и CD, тоже нормальна к поверхности жидкости и равна: , где R₂ – радиус кривизны дуги АD. (Радиус кривизны дуги ВС отличается от него бесконечно мало)

    Таким образом, результирующая всех сил поверхностного натяжения, действующих на границах прямоугольника АВСD, равна:

Разделив на S, получим искомую разность давлений:

                                   (3)

Эта формула называется формулой Лапласа.

Величины R₁ и R₂ суть радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. Радиус кривизны считается положительным, если соответствующее нормальное сечение вогнуто в сторону жидкости. В противном случае он считается отрицательным.

    Величина  называется средней кривизной поверхности. Средняя кривизна не зависит от выбора взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. В противном случае от такого выбора зависела бы и разность давлений , что физически бессмысленно.

    Если поверхность жидкости – сферическая, то R₁=R₂=R, и формула (3) переходит в:

                                   (4)

Для маленького пузыря разность давлений воздуха внутри и вне пузыря вдвое больше по сравнению с тем, что дает формула (4), поэтому формула имеет для него вид: .

    Это связано с тем, что оболочка пузыря имеет две поверхности: наружную и внутреннюю. Она действует как пленка с удвоенным поверхностным натяжением. Т.о., чем больше кривизна поверхности пузыря, тем больше давление газов в нем.

    Применим формулу Лапласа для расчета высота поднятия жидкости в цилиндрическом капилляре радиуса а.

    Пренебрежем изменением давления жидкости при изменении высоты на величину порядка а. В этом приближении разность давлений  будет одной и той же во всех точках мениска.

То же относится к средней кривизне , как это следует из формулы Лапласа. Кроме того, ввиду симметрии R₁=R₂. Поэтому в рассматриваемом приближении мениск можно считать сферическим. Его радиус кривизны равен , где  - краевой угол. В рассматриваемом случае p₁ – есть атмосферное давление, а р₂ – давление жидкости на уровне мениска. Эти давления связаны отношением:

,

где h – высота поднятия, а ρ – плотность жидкости. Сравнивая эту формулу с уравнением (4), получим:

                                       (5)

Высота поднятия обратно пропорциональна радиусу капилляра. Когда угол  - тупой, т.е. мениск выпуклый, величина h отрицательна, т.е. имеет место не поднятие, а опускание жидкости в капилляре.