Г л а в а 2. Основы гидравлики 2. 2. Гидродинамика

Г л а в а 2. ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ 2.2. ГИДРОДИНАМИКА

 

Движущуюся массу жидкости для возможности анализа закономерностей движения в гидродинамике считают состоящей из отдельных элементарных струй, каждая из которых перемещается, не смешиваясь с другими Совокупность элементарных струй представляет поток жидкости. Потоки характеризуются живым сечением и расходом.

Живым сечением потока называется поверхность, перпендикулярная в каждой точке сечения направлению течения жидкости в этой точке. В общем случае, когда направления движения в отдельных элементарных струйках различны, живое сечение представляет криволинейную поверхность. Если направления одинаковы - живое сечение 1-2-3-4-1 будет плоским (рис. 2.6, а). Но даже в плоском живом сечении скорости течения v₁ в отдельных струйках, хотя и направлены одинаково, но различны по величине в отдельных точках (а, b,..., i,.... п) этого сечения. Картина распределения скоростей по сечению называется полем скоростей.

Живое сечение характеризуют следующие параметры:

площадь живого сечения S, определяемая как часть поперечного сечения канала, ограничивающего поток жидкости, занятой ею (площадь l • h на рис. 2.6, а);

смоченный периметр c («каппа») - часть периметра поперечного сечения канала (1-2-3-4), которая.омачивается жидкостью;

гидравлический радиус R = S/c, Представляющий отношение площади живого сечения к смоченному периметру. Для круглой трубы гидравлический радиус равен четверти ее диаметра.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение в единицу времени. Различают объемный расход Q (м³/с) и массовый М (кг/с):

М = r • Q.                                                                                    (13)

Средняя скорость потока v пред­ставляет собой частное от деления объемного расхода на площадь жи­вого сечения (м/с):

v = Q/S.                                                                              (14)

Зная среднюю скорость потока, можно определить объемный расход жидкости в нем

Q = v • S.                                                                              (15)

Потоки жидкости могут иметь различный характер движения. Движение называют установившимся, если в каждой точке потока величины скорости, давления и температуры жидкости (различные в разных точках) с течением времени не меняются. Несоблюдение любого из условий делает движение потока неустановившимся.

Установившееся движение называется равномерным, если поток по всей длине имеет одинаковые живые сечения и, следовательно, скорости.

Уравнение неразрывности потока. Если в установившемся потоке жидкости выделить сечения А я Б (рис. 2.6, б), то объемные расходы жидкости в этих сечениях Q_A = v_A • S_A и Q_Б = v_Б • S_Б должны быть одинаковы, так как поток сплошной, в нем нет никаких пустот, жидкость несжимаема, и между этими сечениями она никуда не расходуется и ниоткуда не поступает.

Рис. 2.6. Схемы потока жидкости

 

Отсюда следует, что и в других сечениях неразветвленного потока расходы жидкости должны быть также одинаковы. Следовательно,

Q = v_A • S_A = const.                                                                                                    (16)

Уравнение (16) называется уравнением неразрывности потока, или уравнением постоянства расхода. По существу оно выражает общеизвестный закон сохранения массы.

Из этого уравнения следует, что v_A/v_Б — S_Б/S_a,т. е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям его живых сечений. Например, если диаметр трубы увеличить в два раза, скорость потока уменьшится в 4 раза.

Уравнение Бернулли. Рассмотрим состояние элемента установившегося потока идеальной жидкости между сечениями А и Б (см. рис. 2.6, б) через малый промежуток времени D t (рис. 2.6, в). Ограничивающие его сечения за это время переместятся: А — в положение А' на расстояние D l_A=v_A • D t, а Б - в положение Б' на расстояние D l_b = v_B • D t.

Определим изменение кинетической энергии рассматриваемого элемента потока при перемещении его из положения АБ в положение А'Б'. Очевидно, что кинетическая энергия основной части объема между сечениями А ' и Б не меняется. Различаться могут лишь кинетические энергии частей объема между сечениями А и А', которую рассматриваемый элемент освобождает при течении, и между сечениями Б и Б', занимаемой вновь.

Из механики известно, что кинетическая энергия движущегося тела равна половине произведения массы его на квадрат скорости (Е кин = mv²/2). Кинетическая энергия элемента объема между сечениями А и А' равна

Е^А кин = r • Q • D t • a_А • v²/2,                                                       (17)

где r • Q • D t = M • D t = m - масса жидкости в объеме элемента АА'; a_А - коэффициент Кориолиса. Этот коэффициент компенсирует неточность, которая возникает, если кинетическую энергию рассчитывать по средней скорости потока (действительная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий отдельных струй потока). Безразмерный коэффициент а представляет отношение действительной кинетической энергии к ее значению, рассчитанному по средней скорости. Значения a зависят от неравномерности скоростей потока по сечению и обычно лежат в пределах 1 - 1,10. Поэтому часто величиной a в расчетах пренебрегают. Аналогично для элемента ББ'

Е^Б кин = r • Q • D t • a_Б • v²/2,                                                  (18)

Разность этих величин, или измене­ние кинетической энергии,

D Е кин = 0,5 • r • Q • D t • (a_Б • v²_B - a_Б • v²_A) .                                          (19)

Изменение энергии тела, как следует из механики, равно работе внешних сил. Такими силами для элемента потока являются силы тяжести и силы гидростатического давления на торцовые сечения элемента.

Работа силы тяжести равна произведению веса тела на величину его перемещения по вертикали. Согласно уравнению постоянства расхода (16) массы частей потока АА' и ББ' одинаковы. Их вес равен r • g • Q • D t, а перемещение по вертикали - разности ординат z_A - z _Б. Тогда работа силы тяжести

D Е _g = r • g • Q • D t • (z_A - z _Б) .                                                         (20)

Давления на торцы объема различны по величине (р_А ¹ р_Б) и противоположны по знаку (+РА и — Р_Б), так как давление р_ъ препятствует течению потока.

Работа сил давления D Е_Р = p_A • S_A • D l_A - p_B • S_B • D l_B.

Произведения S_A • D l_A и S_B • D l_B представляют собой части объема между сечениями А — А' и Б — Б'. По уравнению постоянства расхода они одинаковы и равны каждое Q • D t (например, S_A • D l_A = S_A • v_A • D t = Q • D t).

Рис 2 7 Графическая иллюстрация закона Бернулли

Рис. 2.8. Измерение скорости потока жидкости

 

Тогда

                                                                      (21) Так как

то

Разделим все члены этого выражения на вес рассматриваемого элемента потока , т. е. будем рассматривать удельную энергию на единицу веса. Тогда получим (имея в виду, что ):

После перестановки членов имеем

                                    (22)

Выражение (22) называется уравнением Бернулли для идеальной жидкости. Это одно из важнейших уравнений гидравлики, оно в 1738 г. впервые было установлено известным ученым Даниилом Бернулли, членом Российской Академии наук.

Так как выполненное рассуждение можно провести и для любых других сечений и элементов потока, то уравнение (2.22) можно записать в более общем виде:

                                                                    (23)

Выражение (23) применительно к движению идеальной жидкости выражает закон сохранения энергии. Оно говорит о том, что удельная энергия в установившемся потоке идеальной жидкости постоянна, она не может ни увеличиваться, ни уменьшаться. Изменение одного из слагаемых должно неизбежно приводить к изменению других слагаемых.

Рассмотрим подробнее слагаемые удельной энергии в уравнениях, (22) и (23). Все они имеют линейную размерность (м). Для слагаемого 2 это очевидно, но нетрудно убедиться в этом и для других слагаемых:

Первый член уравнения (23) представляет геометрическую высоту (геометрический напор) рассматриваемого сечения потока над выбранным уровнем сравнения, для которого