Решение показательных неравенств

2. Решение показательных неравенств.

Пример 1. Решить простые неравенства:

а) 5 ͯ <125                         б) 3 ͯ >-1                   в) 0,5 ͯ < -1            г) (0,2) ͯ >1

5 ͯ <5³                 3 ͯ >-1 всегда              0,5 ͯ>0 всегда         (0,2) ͯ >(0,2)⁰ͯ 

x<3                  х - любое число        решений нет          x<0, т.к. 0,2 < 1

    Пример 2. 2 ͯ ⁺ ² +2 ͯ >20

Решение.

                       2 ͯ ⁺² +2 ͯ >20,   т.к. 2 ͯ ⁺²=2 ͯ 2²

2 ͯ 2²+2 ͯ >20

2 ͯ (2² +1)>20

2 ͯͯ 5 >20

Разделим обе части неравенства на 5

2 ͯ >2²

x>2

Пример 3.  9 7 ͯ - 49 3 ͯ >0

Решение.

9 7 ͯ - 49 3 ͯ >0

Перенесём второе слагаемое за знак неравенства

9 7 ͯ >49 3 ͯ

Разделим обе части неравенства на 3 ͯ, затем на 9, получим:

9  (7/3) ͯ >49

(7/3) ͯ >49/9

x >2, знак неравенства показателей сохраняется, т.к. >1

Пример 4.  (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.

Сделаем замену: пусть (0,5)^х=у.

Получаем неравенство: у²+2<3y или    y²-3y+2<0.

y²-3y+2 =0

Находим корни квадратного уравнения y²- 3 y+ 2 =0.

Дискриминант D=b²-4ac=3²-4∙1∙2=9-8=1.

Вычислим: у₁= 1, у₂= 2

Отмечаем их на числовой прямой точки и методом интервалов решаем:

Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)^хє(1; 2).

(0,5)^х= 1 → (0,5)^х= (0,5)⁰ → х=0.

(0,5)^х= 2 → (¹/₂)^x= 2 → 2^{— x}= 2¹ → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).

Ответ: (-1; 0).

ДОМАШНЕЕЗАДАНИЕ

1) Законспектировать все рассмотренные примеры решения показательных уравнений.

2) Законспектировать все рассмотренные примеры решения показательных неравенств.

3) Фотографию выполненной работы отошлите в группу