Применениеметода введения новой переменнойпри решении неравенств

Рассмотрим подробное решение показательного  неравенства, которое при замене переменной  приводится к квадратному уравнению.

  Решить неравенство: .

Решение.

Используем метод введения новой переменной.

Пусть ⇒ .

У нас получилось квадратное неравенство, которое решается методом интервалов. Для начала найдём корни, т.е. от неравенства перейдём к уравнению:  и решив его, получили корни: . Отмечаем их на числовой прямой:

   +       -         +         

       ^{-2             3}

Надо проверить знак неравенства в каждом интервале, т.к. неравенство непрерывное, то достаточно проверить знак в одном из интервалов, например:

(-2;3): возьмём из этого интервала число ноль и подставим в неравенство:

, значит знак «-» ставим в этом интервале. В двух других ставим «+», так как знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «+», так как знак неравенства «>»,

 у нас получилось .

Сделаем обратную замену:

1)Неравенство –решений не имеет, т.к. корень не удовлетворяет нашему условию ;

2) ,

т.к. 3>1⇒ .

Ответ:

Пример 2: Решить неравенство: 16^х – 17 4^х <-16

Решение.

Запишем неравенство в стандартном виде:

16^х – 17 4^х + 16 < 0

Сделаем замену:

Пусть 4^х = t, где t>0, тогда 16^х =(4² )^x =(4^x)² =t²  и неравенство примет вид:

t² - 17t + 16 < 0

От неравенства перейдём к уравнению: t² - 17t + 16 = 0 и решим его.

Данное квадратное уравнение решим по теореме Виета получим:

Подбираем числа, это:

t₁=1, t₂=16

Отмечаем их на числовой прямой:

 

 

   +       -         +         

       ^{1               16}

 

Надо проверить знак неравенства в каждом интервале, т.к. неравенство непрерывное, то достаточно проверить знак в одном из интервалов, например:

(;1): возьмём из этого интервала число ноль и подставим в неравенство:

, значит знак «+» ставим в этом интервале. В двух других знаки чередуются.

Выбираем интервалы со знаком «-», так как знак неравенства «<»,

 у нас получилось   или   

Сделаем обратную замену:

1)Неравенство

, т.к.4>1, значит x>0

2) ,

т.к. 4>1⇒ .

Ответ: