Типы задач к экзамену и зачету

1 2

Функции нескольких переменных

Найти частные производные для функции средней сложности.

Например

Найти и

Найти дифференциал

Исследовать на экстремум функцию типа

Найти наибольшее и наименьшее значение функции типа в треугольнике ОBC, где О(0;0), B(3;4), С(5;2)

Или в прямоугольнике 1<x<3, 4<y<8

Интегралы

1. Найти интеграл

2. Найти интеграл

3. Найти интеграл , где

4. Найти интеграл , где

5. Найти интеграл , где

6. Найти интеграл , где

7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

9. Найти интеграл , где

10. Найти интеграл , где

11. Найти интеграл , где

12. Найти массу тела, координаты центра тяжести тела, расположенного в области , если плотность задана функцией

Скалярное поле

1. Задано скалярное поле, например . Найти , , , , производную по направлению вектора : , в точке А(1;2), если . Найти направление наискорейшего роста функции в точке A. Найти скорость наискорейшего роста функции в точке A. Найти угол между и осью . Найти угол между и осью . Найти угол между и вектором .

2. Те же задачи для поля

3. Построить линию уровня скалярного поля , соответствующую .

Векторное поле

1. Найти уравнения векторных линий для поля

2. Найти уравнения векторных линий для поля

3. Найти уравнение векторной линии для поля , проходящей через точку А(2;3).

4. Найти уравнение векторной линии для поля , проходящей через точку А(2;3).

5. Найти поток векторного поля через поверхность квадрата OBCD, где O(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0). Выбрать вектор нормали, образующий острый угол с осью 0z.

6. Найти поток векторного поля через поверхность квадрата OBCD, где O(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0). Выбрать вектор нормали, образующий острый угол с осью 0z.

7. Найти поток векторного поля через фрагмент плоскости x+2y+z=4, ограниченный координатными плоскостями. Выбрать вектор нормали, образующий острый угол с осью 0z.

8. Найти поток векторного поля через фрагмент плоскости x+2y+z=4, ограниченный координатными плоскостям. Выбрать вектор нормали, образующий острый угол с осью 0z.

9. Задано векторное поле . Найти , , , , ,

10. Задано векторное поле . Найти

11. Задано векторное поле , точка А(1;2;4) Найти , , ,

12. Задано скалярное поле . Найти значение выражения

13. Задано скалярное поле . Найти значение выражения

14. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля

15. Найти поток векторного поля через поверхность куба ABCD в направлении внешней нормали

16. Найти поток векторного поля через поверхность пирамиды, образованной плоскостями в направлении внешней нормали

17. Вычислить работу векторного поля по дуге ОС параболы , где О(0; 0); С(4; 8).

18. Зависит ли данный интеграл от пути интегрирования? Вычислить его по кривой от до

19. Показать, что в поле вектора интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить между точками A(0,1,1) и B(2,3,4).

20. Дано плоское векторное поле . Проверить, что оно потенциально и найти потенциал поля и

21. Дано векторное поле и точки и . Проверить потенциальность поля, найти потенциал и работу поля между точками и Найти циркуляцию векторного поля по контуру , где , , в положительном направлении.