Соответствия между множествами. Отображения и их виды

1. Соответствия между элементами множеств.

Теория множеств изучает свойства множеств и операций над ними, отвлекаясь от природы элементов этих множеств и от способа их задания; два множества, заданные различными характеристическими свойствами, считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы можно было прилагать теорию множеств к решению практических задач, а также для построения математических теорий, надо рассматривать множества, между элементами которых определены те или иные отношения. Не давая пока точных определений, приведем примеры.

В множестве офицеров данного полка для некоторых пар элементов (а; b) справедливо утверждение «Офицер а служит в одной роте с офицером b », для других пар справедливо утверждение «Офицер а старше по званию офицера b», для третьих – утверждение «Офицер а имеет то же звание, что и офицер b». Каждое из этих утверждений задает некоторое отношение между офицерами а и b (совместной службы, старшинства, равенства званий). В этих примерах речь шла об отношениях между элементами одного и того же множества. Можно говорить и о соответствиях между элементами различных множеств – например, утверждение «Офицер а служит в роте b» задает соответствие между множеством офицеров и множеством рот.

Дадим общее определение бинарного соответствия между элементами множеств X и Y (слово «бинарный» происходит от латинского слова bis, означающего «дважды», n показывает, что речь идет о двух множествах X и У).

Приведенные выше примеры показывают, что каждое такое соответствие задается некоторым двухместным предикатом R (х, у), в котором х пробегает множество X, a y – множество Y (например, предикатом «Офицер х служит в роте у», где х принадлежит множеству X офицеров, а у – множеству Y рот).

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств

Обозначения. Сами соответствия обозначают латинскими буквами (большими или маленькими)

Например, если а и b– элементы множеств X и У, на которых задано соответствие R, то пишут R(a, b) или aRb.

Читают: элемент а находится в отношении R с элементом b.

Формирование почти всех понятий начального курса математики сопровождается рассмотрением тех соответствий и отношений, которые существуют между изучаемыми объектами. Так, изучая понятие натурального числа, мы говорим об отношениях «больше», «меньше», «равно»; изучая отрезки, рассматриваем отношения «длиннее», «короче», «равно». Со многими соответствиями и отношениями учащиеся начальных классов встречаются при решении задач. Это и отношения «старше», «моложе», «старше в... раз», «ниже», «выше» на множестве людей, и соответствия «дороже, чем», «дешевле в... раз», «дороже на...», оперировать которыми приходится при сравнении стоимости различных предметов.

Для бинарных соответствий применяется своя терминология.