Множество X называют областью отправления соответствия R, множество У – областью прибытия

Множество X называют областью отправления соответствия R, множество У – областью прибытия.

Пример 1: если R – соответствие «х делится на у» и Х = {10; 20; 30; 40}, У={2; 3; 4}, то график состоит из пар R ={ (10; 2), (20; 2), (20; 4), (30; 2), (30; 3), (40; 2), (40; 4)}.

Данное соответствие мы задали и словесно и упорядоченными парами.

Если множества X и У конечны, то бинарные соответствия между ними можно задать таблицами.

Например, таблица 1 задает соответствие «Школьник х дежурит в день у». Здесь X = {Алексеев; Бочкарева; Васильев; Григорьев; Денисов; Ефремов} и У = {понедельник; вторник; среда}. Заштрихованные клетки таблицы образуют график рассматриваемого соответствия.

Таблица 1

Для конечных множеств соответствия изображают также при помощи особых чертежей, состоящих из точек и направленных линий (стрелок), идущих из одной точки в другую. Такие чертежи в математике называют ориентированными графами (от греческого слова «графо» – «пишу», сравните слова «телеграф», «график»). Элементы множеств X и У обозначают точками, а стрелки проводят из точки х в точку у, если (х; у) € Г, т. е. если xRy..  

Способы задания соответствия:

1. Перечисление упорядочных пар или графиком Г,

2. Характеристическим свойством (двуместным предикатом) или словесным описанием,

3. Ориентированным графом,

4. Графиком в ПДСК (только для числовых множеств),

5. Таблицей (например, график дежурства – задает соответствие между учениками и днями недели),

6. Аналитически или формулой (например, у=х+5).

Пример 2.

Рассмотрим граф соответствия  G между множествами А и В. Возьмем какую-нибудь точку множества А, например точку 1, и все стрелки, выходящие из этой точки. Множество концов этих стрелок называют образом элемента 1 при соответствии G и обозначают G (1).

Этот образ состоит из элемента  е множества В, G (1)={e}.

Возьмем теперь какой-нибудь элемент из множества B на рисунке, например e, и все стрелки, которые оканчиваются в этом элементе. Множество начал этих стрелок называют полным прообразом элемента e при соответствии G. Этот полный прообраз обозначают G-1(e). Он состоит из элементов 1,2 множества F, G-1(e)= {1,2). В общем виде полный прообраз элемента b € Y определяют как множество таких элементов х € Х, что истинно xRb.

Может случиться, что из данной точки 3 € Aне выходит ни одна стрелка. Тогда образ элемента а пуст, G(a)= Ø. Аналогично есть точкив множестве В, в которые не входят стрелки, у них пустой прообраз.

Совокупность   всех элементов из A, имеющих непустые образы (т. е. таких, что из них выходит хоть одна стрелка), называют множеством определения соответствия G. Множество всех элементов из B, имеющих непустой полный прообраз (т. е. таких, что в них кончается хоть одна стрелка), называют множеством значений соответствия G. Для соответствия, граф которого изображен на рисунке, множество определения состоит из элементов 1,2,3, а множество значений – из элементов e,f,g.

Каждому бинарному соответствию между множествами X и Y отвечает бинарное соответствие между Y и X. Например, можно сказать «x<y». С ним связано соответствие «x>y».

  Иными словами, при переходе к новому соответствию области отправления и прибытия поменялись ролями – область отправления стала областью прибытия и, наоборот, область прибытия стала областью отправления. В парах (х; у), входящих в график соответствия, компоненты тоже меняются местами – вместо (х; у) надо писать (у; х).

Вообще, пусть задано соответствие xRy между множествами X и Y. Обратным ему называют соответствие ySx между множествами Y и X, такое, что ySx в том и только в том случае, когда xRy. Обычно вместо ySx пишут yR-1x. Например, для соответствия «Число х делится на число у» обратным будет соответствие «Число у является делителем числа х» – х делится на у в том и только в том случае, когда у – делитель х.

Чтобы получить график соответствия R -1, обратного соответствию R, надо взять график соответствия R и поменять местами компоненты в каждой паре. А чтобы получить граф соответствия R -1, надо изменить на обратное направление всех стрелок в графе соответствия R.