Отображения. Виды отображений

2. Отображения. Виды отображений.

Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия – отображения множеств. При соответствии R между множествами X и Y образ элемента a g X может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов}

Таким образом, график отображения множества X в множество Y не может содержать двух различных пар (а; y1) и (а; у2) с одной и той же первой компонентой. При этом для любого а€Х в нем найдется пара вида (a; b), где b из Y. Если изобразить отображение множества X в множество Y графом, то из каждой точки множества X будет выходить одна и только одна стрелка.

Отображения множеств обозначают маленькими латинскими буквами:

ƒ:X→Y, X→Y

Здесь ƒ – символ самого отображения. Если при отображении ƒ элементу х соответствует элемент у, то пишут:

ƒ:x→y или x→y или y=ƒ(x)

Пример 1. Пусть X – множество студентов в аудитории, а Y – множество столов в той же аудитории, причем каждый студент сидит за одним из столов. Соответствие «Студент х сидит за столом у» задает отображение X в Y. Образом студента х при этом отображении является стол, за которым он сидит.

Пример 2. Пусть X–Y=N – множество натуральных чисел. Соответствие «Десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N. При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45 981 – число 5 (39 – двузначное число, а 45 981 – пятизначное число).

При отображении X→Y каждый элемент множества X переходит в один и только один элемент из Y. Но на элементы множества Y ограничений не накладывается – в некоторые из них не отображается ни один элемент из X, в другие отображается ровно один элемент, а в некоторые – несколько или даже бесконечно много элементов.

Отображение множества Х на У, называют сюръективными (от французского предлога sur – «на»), если каждый элемент у является образом одного или нескольких х.

Отображение Х в У называют  инъективным, если каждому элементу хиз Х соответствует только один у из У (при этом найдутся у, в которые стрелки не входят вообще)

Определение 1. Отображение f, которое обладает обоими свойствами, т. е. и сюръективно, и инъективно. называют взаимнооднозначными или биекцией. В современной математической литературе часто применяют для них термин «биективные отображения» или, короче, «биекции» (от латинского bis – «дважды»).

Определение 2. Итак, отображение X→Y взаимнооднозначно в том и только в том случае, если при этом отображении полный прообраз каждого элемента у € Y состоит из одного элемента х € X, т. е. если каждый элемент y€Y является образом одного и только одного элемента х€Х.

Пример. Пусть X – множество пальто в гардеробе, a Y – множество крючков в этом гардеробе. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Если каждое пальто висит на крючке (а не лежит, скажем, на полу), то это соответствие является отображением X в У. Это отображение инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто (но могут быть и свободные крючки), и сюръективно, если все крючки заняты (но на некоторых крючках могут висеть несколько пальто). Наконец, это отображение биективно (взаимно-однозначно), если на каждом крючке висит одно и только одно пальто.

Если Х->У – взаимно-однозначное отображение X на У (биективное отображение),то обратное отображение тоже взаимнооднозначно (Поэтому в таком случае говорят также о взаимнооднозначном соответствии между множествами X и У. При взаимнооднозначном соответствии каждый элемент х из X, равно как и каждый элемент у из У, попадает в одну и только в одну пару, принадлежащую графику отображения