Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Практическое использование

Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Практическое использование.

 

Определение 1.3: векторным произведением векторов ,  называется  :

| |=

  -правая тройка()

Теорема 1.3: Равенство нулю векторного произведения есть  условие коллинеарности двух векторов.

Доказательство:

(по определению 1.3)  ó

ó

 

Теорема 2.3: Если , то их векторное произведение равно площади параллелограмма, построенного на отрезках ОА и ОВ.

Обозначим параллелограмм, построенный на ОА и ОВ как ОАDB.

Следствие: площадь треугольника АВС:

Доказательство:

Построим параллелограмм на  и  ,тогда по теореме 2.3:

.

 

Теорема 3.3: выражение векторного произведения через прямоугольные координаты.

Доказательство:

,из определения 1.3 =>  ó  ó (1)

Выразим систему (1) методом Крамера:

ó  ,   (2)

(3)

Из (2),(3) получим:

  (4)

Найдем t в (4):

(4)=> | |  (5)

Из второго условия определения имеем:

=

(6)

Из (5), (6) =>  (7)

Из третьего условия опр.1.3=> , т.к. -правая тройка

 

Что и требовалось доказать.

    Теорема 4.3:

    Доказательство: (метод координат)

 

    Практическое использование векторного произведения:

Из определения 1.3, теорем 1.3, 1.4 следует: векторное произведение может быть использовано в задачах на доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, плоскостей; нахождение отношений двух отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой; в решении задач на нахождение площадей любых n-угольников.