Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов.

 

Определение 1.2: Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

· =| |·| |· ( ^ )

 

Свойства скалярного произведения:

Теорема 1.2: Равенство нулю скалярного произведения есть условие перпендикулярности двух векторов. · =0 <=>

Доказательство:

· =| |·| |·cos( ^ )=0 <=> <=> <=> .

Теорема 2.2: Выражение скалярного произведения через прямоугольные координаты.

Если вектор (), () в базисе , то

· =

Доказательство:

= , =

ОАВ =>

=>

Что и требовалось доказать.

 

Теорема 3.2: Скалярное произведение подчиняется коммутативному, ассоциативному и распределительному законам.

 выполняется: (коммутативный закон)

(ассоциативный закон)

(распределительный закон)

Доказательство: (методом координат)

, , , В()

(по теореме 2.2)= (коммутативный закон для чисел)=

 

Направления практического использования скалярного произведения:

В физике: работа силы  по прямолинейному перемещению материальной точки А в точку В.

В геометрии: в решении геометрических задач на нахождение длин отрезков, углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями, и в доказательстве перпендикулярности прямых, плоскостей, прямой и плоскости. На нахождение угла между скрещивающимися прямыми, в решении наиболее трудных задач.

 

 

Общий подход к решению задач с помощью векторов:

Задачи, в тексте которых о векторах не говорится, но которые эффективно решаются с помощью векторов, называются содержательными. Их можно разбить на два вида: аффинные и метрические. Аффинные – это те, которые решаются без использования скалярного произведения векторов, а метрические решаются с помощью скалярного произведения векторов. К аффинным задачам можно отнести: задачи на доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, задачи на нахождение отношений длин отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных. К метрическим относятся задачи на доказательство перпендикулярности прямых, на нахождение углов, на нахождение длин отрезков.

 

Метод векторов включает этапы:

1. Обоснование возможности решения задачи с помощью векторов.

2. Выбор базиса (для плоских фигур - два неколлинеарных вектора, для неплоских - три некомпланарных вектора).

3. нахождение разложений нужных векторов по выбранному базису

4. Обоснование утверждений задачи (сравнение разложений нужных векторов для аффинной задачи, нахождение скалярного произведения для метрической).

Замечание: Реализация первого этапа состоит в переводе заключения (утверждения) задачи на язык векторов.

 

Так, например, доказательство теоремы о пересечении медиан треугольника методом векторов сведется к обоснованию равенства между векторами, где

: : :

1.

2.

 

1)

2) B()

3)    (1)

(2)

 (3)

(1), (2), (3)=> .