Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

        

Определение 1.4: Смешанным произведением векторов   называется скалярное произведение векторного произведения

Теорема 1.4: (выражение смешанного произведения векторов через прямоугольную систему координат сомножителей)

Если , , то

    Доказательство:

Из теоремы 2.2 и теоремы 3.3 следует:

Что и требовалось доказать.

 

    Теорема 2.4: Для любых  выполняется равенство:

 (ассоциативный закон)

    Доказательство:

 

Что и требовалось доказать.

 

    Теорема 3.4: Для любых  выполняются свойства:

1) Круговая перестановка сомножителей не изменяет смешанного произведения, а перестановка двух сомножителей изменяет знак смешанного произведения на противоположный.

2) Смешанное произведение обладает ассоциативностью

3) Смешанное произведение обладает распределительностью

    Доказательство: (метод координат)

1)

2)

3)

Что и требовалось доказать.

 

    Теорема 4.4: (геометрический смысл смешанного произведения) Модуль смешанного произведения векторов , ,  равен объему параллелепипеда, построенного на отрезках .

 т.е.

Что и требовалось доказать.

 

    Следствие 1: смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора компланарны.

    Следствие 2: объем тетраэдра .

    Доказательство:

Построим параллелепипед на отрезках AB,AC,AD.

Тогда по теореме 4.4:

.

Что и требовалось доказать.