Векторная алгебра. Понятие векторного пространства.
Векторное пространство как множество классов направленных отрезков, имеющих равные длины и одинаковые направления.
Определение 1.1: Векторным пространством V называется непустое множество, элементы которого называются векторами и обозначаются , и на котором заданы две операции: сложение векторов, и умножение вектора на скаляр(число), и которые удовлетворяют восьми аксиомам:
А1: для любых векторов выполняется равенство (коммутативный закон)
А2: (ассоциативный закон)
А3: (нулевой вектор)
А4: , для любого ,
А5: для любого :
А6: для любых (сочетательный закон)
А7: для любых (распространительный закон)
А8: для любых (распространительный закон)
Замечание: из определения 1.1 следует, что природа понятия вектора может быть разной. Отсюда вытекают разные подходы к введению понятия вектор.
Определение 2.1: Вектором назовем множество направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.
Определение 3.1: Суммой векторов и = называется =
Замечание: из определения 3.1 следует, что сложение не зависит от выбора точки А.
Определение 4.1: произведением числа на вектор называется , при этом | | , , , и если , то , .
Множество векторов, определенных в определении 2.1 образуют векторное пространство.