Типовые задачи

Дана электрическая сеть постоянного тока в 4 узла (1 базисный-и-балансирующий и 3 простых). В узлах даны токи инъекции. Могут быть добавлены шунты и коэффициенты трансформации. Составить систему уравнений узловых напряжений. Требуется найти напряжения узлов сети, решая записанную систему уравнений одним из методов:

Крамера,
обратной матрицы,
Гаусса,
LU-разложения,
«электрических преобразований» (без шунтов и коэффициентов трансформации),
Якоби (опционально, с ускорением),
Зейделя (опционально, с ускорением),
произвольный метод, на выбор студента.

Для итерационных методов указано, как выбрать начальное приближение, сколько итераций следует выполнять и какую норму какого вектора следует контролировать на итерации. Может быть добавлено требование статической (динамической) оптимальной нумерации узлов.

В результате триангуляции матрицы проводимостей электрической сети постоянного тока получена матрица W (приводятся ее числовые значения). Определить матрицу проводимостей и представить соответствующую ей электрическую сеть.

Дана сеть постоянного тока в 7 узлов (1 базисный и 6 обыкновенных). В узлах даны токи инъекции. Требуется найти напряжения узлов сети методом электрических преобразований (узлы могут иметь высокий ранг). Нумерацию узлов менять запрещено.

Дана сеть переменного тока в 3 узла (1 базисный-и-балансирующий и 2 простых). Составить систему уравнений узловых напряжений в прямоугольных координатах. Могут быть добавлены шунты и коэффициенты трансформации. Требуется найти напряжения узлов сети, решая записанную систему уравнений одним из методов:

Крамера,
Гаусса,
обратной матрицы,
LU-разложения,
Якоби (опционально, с ускорением),
Зейделя (опционально, с ускорением),
произвольный метод, на выбор студента.

Дана сеть постоянного тока в 4 узла (1 базисный-и-балансирующий и 3 простых). Требуется составить систему уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (опционально, мощностей) и решить ее одним из методов:

простой итерации (только для формы баланса токов; опционально, с ускорением),
Зейделя (только для формы баланса токов; опционально, с ускорением),
Ньютона-Рафсона (опционально, с ускорением).
произвольный метод, на выбор студента.

Дополнительно указано, как выбрать начальное приближение, сколько итераций следует выполнять и какую норму какого вектора следует контролировать на итерации. Может быть добавлено требование статической (динамической) оптимальной нумерации узлов.

Получить все базисные решения СЛУ с прямоугольной матрицей коэффициентов (Заданы матрица А и вектор В).

Дана произвольная система нелинейных алгебраических уравнений. Решить ее одним из методов:

простой итерации (только для формы баланса токов; опционально, с ускорением),
Зейделя (только для формы баланса токов; опционально, с ускорением),
Ньютона-Рафсона (опционально, с ускорением).
произвольный метод, на выбор студента.

Для итерационных методов дополнительно указано, как выбрать начальное приближение, сколько итераций следует выполнять и какую норму какого вектора следует контролировать на итерации.

Решить задачу линейного программирования с использованием: симплекс-алгоритма и/или графических построений. Задача может быть составлена произвольным образом и в ней могут быть проблемы:

задача имеет решения при значении целевой функции (),
задача составлена не в стандартной форме, и к ней требуется привести первоначальную задачу,
первоначальное базисное решение заведомо не является допустимым,
более 2х ограничений сходятся в определенной точке,
решений бесконечно много,
первоначальное базисное решение оказывается, также, и итоговым,
ограничения задачи несовместны,
комбинация вышеперечисленного.

Целевая функция и система ограничений могут быть заданы как графически (через область допустимых значений и градиента целевой функции), так и в виде математических выражений.

9. Существует два множества из векторов и в некотором линейном пространстве над полем . Для множеств векторов и дано следующее:

a. Одно из них точно составляет базис, или оба точно составляют базис.

b. Координаты векторов в , или в (суммой векторов, матрицами-столбцами или матрицей перевода).

Может существовать (если участвует в задании) вектор из некоторого линейного пространства над полем . Для может быть дано:

a. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

b. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

Требуется:

a. Найти матрицу перевода из в , или из в .

b. Найти координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

c. Найти координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

d. Доказать, если возможно, что и/или составляют базис.

10. Существует два множества из векторов и в некотором линейном пространстве над полем . Для множеств векторов и дано следующее:

a. Одно из них точно составляет базис, или оба точно составляют базис.

b. Координаты векторов в , или в (суммой векторов, матрицами-столбцами или матрицей перевода).

Существует линейное преобразование , заданное в виде

a. Матрицы в одном из множеств векторов , или

b. Координат образов , или , которые записаны в виде матриц-столбцов, или сумм векторов соответствующего множества.

a. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

b. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

c. Координаты образа , записанные через матрицу-столбец в , или через сумму векторов .

d. Координаты образа , записанные через матрицу-столбец в , или через сумму векторов .

Требуется определить:

a. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

b. Координаты , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

c. Координаты , где – множество собственных векторов линейного преобразования , записанные через матрицу-столбец, или через сумму векторов .

d. Координаты собственных векторов линейного преобразования , записанных через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов , или через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов , или через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов , а также собственные числа линейного преобразования .

e. Координаты образа , записанные через матрицу-столбец в , или через сумму векторов .

f. Координаты образа , записанные через матрицу-столбец в , или через сумму векторов .

g. Координаты образа , где – множество собственных векторов линейного преобразования , записанные через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов , или через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов , или через матрицы-столбцы в , или через суммы векторов .