Квантование дискретизированного сигнала

В квантователе значения дискретных отсчетов аналогового сигнала преобразуются в квантованные цифровые отсчеты. Значение дискретного отсчета может выражаться как конечной, так и бесконечной дробью, например, числами 0,33333333...,  и т.д. Значение цифрового отсчета выражается всегда ограниченным числом разрядов, т.е. является конечной дробью. Переход от дискретных отсчетов к цифровым принципиально не мо­жет быть точным, что приводит к неустранимой погрешности при квантовании. Величина погрешности зависит от числа используемых разрядов, формы представления чисел в ЦП и способа квантования. Под формой представления чисел имеют в виду использование прямого, обратного или дополнительного кода при записи положительных и отрицательных чисел, под способом квантования подразумевают выполнение квантования с использованием округления или усечения значения дискретного отсчета аналогового сигнала.

Заменим точное значение дискретного отсчета цифровым отсчетом, выраженным b -разрядным числом. Поскольку число разрядов конечно, то цифровой отсчет может принимать только фиксированные значения из общего числа значений M= 2 ^b. Например, при b =8 цифровой отсчет может принимать одно из M =256  значений, включая нуль. Разница между соседними значениями равна единице младшего разряда, ее называют квантом. Ниже квант обозначается, как D. Конкретное значение кванта определяется не только числом разрядов, но и максимальным значением цифрового отсчета. Если максимальное значение равно единице, то при использовании восьми разрядов квант равен D = 1/2 ^b = 1/256. При этом цифровые отсчеты на выходе квантователя могут принимать значения 1/256, 2/256,..., m /256,... и т.д.

Рис. 1.10.

Ошибки квантования.

Возможные значения цифровых отсчетов представим схематично в виде уровней – горизонтальных линий. На рис. 1.10 представлены два таких уровня со значениями m и m + 1. Рассмотрим случай, когда значение отсчета находится между уровнями m и m + 1 (отсчеты  u _{Д, i}  и u _{Д, i +1} на рис. 1.10).

Если осуществляется усечение, то дискретный отсчет, находящийся между уровнями m и m + 1, заменяется значением, соответствующим нижнему уровню m. При округлении дискретный отсчет заменяется значением m, если отсчет находится в области значений m   u _Д < m + + D/2, или значением m + 1, если отсчет находится в области значений m + D/2   u _Д < m + 1. В дальнейшем будем полагать, что в квантователе используется округление значений дискретных отсчетов аналогового сигнала.

Рис. 1.11.

Преобразование аналогового сигнала в цифровые отсчеты.

Характеристика квантователя приведена на графике 1 рис. 1.11. По оси ординат отложены значения цифровых отсчетов x, по оси абсцисс – значения дискретных отсчетов аналогового сигнала u _Д. Дискретные отсчеты, являющиеся функцией номера интервала дискретизации n, изображены на графике 2 рис. 1.11. Там же изображено аналоговое напряжение u (t), из которого получены эти отсчеты.  При бесконечно большом числе разрядов характеристика квантователя x = j(u _Д) является прямой, выходящей из начала координат. Конечность числа разрядов приводит к тому, что характеристика квантователя становится нелинейной, ступенчатой. Отсчеты x квантованы, поэтому могут принимать ограниченное число значений из ряда 0, D, 2D,... (2 ^b – 1)D. На графике 3 рис. 1.11 квантованные значения цифровых отсчетов представлены в виде столбиков с кружками наверху. Там же изображено аналоговое напряжение u (t), из которого берутся дискретные отсчеты u _Д. Разница между значением цифрового отсчета x и соответствующим истинным значением дискретного отсчета u _Д представляет собой ошибку квантования, она обозначена как x: x = x – u _Д. При использовании в квантователе операции округления максимальное значение ошибки квантования равно D/2 и не зависит от формы представления чисел в ЦП.

Последовательность значений x(n) (график 4 на рис. 1.11) является случайным процессом и называется шумом квантования.

Мы рассмотрели ошибки, возникающие в процессе дискретизации и квантования аналогового сигнала, а также условия, выполнение которых позволяет уменьшить влияние этих ошибок на качество восстановления выходного сигнала устройства обработки. Принципиальная возможность уменьшения ошибок до сколь угодно малого уровня позволяет идеализировать работу АЦП, что существенно упрощает анализ устройств цифровой обработки.

Сформулируем условия, в рамках кото­рых будет проходить дальнейшее рассмотрение.

1. Входной сигнал цифрового фильтра считается идеализированной цифровой последовательностью, абсолютно точно воспроизводящей уров­ни дискретных выборок входного аналогового сигнала.

2. Цифровой фильтр рассматривается как идеализированное устройство, абсолютно точно выполняющее арифметические операции, пред­усмотренные его алгоритмом.

3. Шум квантования и другие эффекты, связанные с конечной разрядностью, рассматриваются отдельно.