Методы расчета БИХ-фильтра на основе заданного выходного сигнала при известном входном воздействии

Способы расчета ЦФ указанной категории являются достаточно специфическими и определяются конкретным назначением ЦФ. Рассмотрим несколько примеров.

На рис. 6.22 в упрощенном виде представлена структурная схема системы передачи речевых сигналов с уплотнением канала связи.

Рис. 6.22. Структурная схема системы передачи речевых сигналов.

 

Принцип действия этой системы основан на известном положении: "соответствующей фильтрацией спектральных составляющих "белого" шума можно воспроизвести любое заранее заданное колебание". Заданным колебанием на выходе ЦФ-I является речевой сигнал y (n), входным воздействием - цифровой "белый" шум, поступающий от шумового генератора ГШ-I.

Общее выражение для передаточной функции фильтра ЦФ-I имеет вид

                                

Абсолютно точное воспроизведение сигнала y (n) на выходе ЦФ-I невозможно, для этого ЦФ-I должен иметь бесконечно большой порядок. Колебание ŷ (n) на выходе ЦФ-I воспроизводит заданный сигнал y (n) с ошибкой E, которая минимизируется до требуемого уровня решающим устройством РУ путем вариации коэффициентов фильтра ЦФ-I.

Примечательной особенностью рассматриваемой системы является то, что в канал связи поступает не речевой сигнал y (n), а непрерывно меняющиеся коэффициенты   a_k и b_k фильтра ЦФ-I. Такой способ передачи заметно сокращает избыточность информации в речевом сигнале, что дает возможность существенного уплотнения канала связи.

В приемной части системы связи установлены фильтр ЦФ-II и генератор цифрового "белого" шума ГШ-II - точно такие же, как и в передающей части. Поступающие на фильтр ЦФ-II коэффициенты обеспечивают на его выходе воспроизведение сигнала в виде его оценочной формы ŷ (n).

Для оценки степени близости реальной выходной последовательности ŷ (n) к заданной y (n) используется критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО), которая определяется в соответствии с выражением

                                                            (6.103)

Представив в (6.103) реальную выходную последовательность   разностным уравнением БИХ-фильтра, получим:

                        (6.104)

Отсчеты x (n) поступают с генератора шума ГШ-I. Если порядки М и L нерекурсивной и рекурсивной частей фильтра известны, то СКО E в оценке выходной последовательности является функцией коэффициентов фильтра а_k  и   b_k.

Задача расчета E_min с использованием (6.104) весьма сложна. Решение ее достаточно эффективно может быть проведено методом адаптивной идентификации коэффициентов. Определение набора оптимизированных значений коэффициентов осуществляется в течение короткого интервала времени (порядка 1 мс). После этого с блока E в блок формирования сигнала подается команда на передачу данных, и оптимизированный набор коэффициентов поступает в канал связи и далее - в приемную часть.

Рассмотрим другие примеры.

Пусть на входе ЦФ1 действует последовательность x (n) с экспоненциальной огибающей:

                          

На выходе ЦФ1 требуется получить последовательность  y (n) также с экспоненциальной огибающей, но с большей постоянной времени:

             

На рис. 6.23 схематично показаны условия поставленной задачи.

Рис. 6.23. Преобразование входного сигнала.

 

Определим   z -формы X (z) и Y (z) заданных последовательностей x (n)  и y (n):

                      

и введем их в выражение для передаточной функции фильтра:

                                                                 (6.105)

График АЧХ и нуль-полюсная диаграмма рассчитанного ЦФ1 показаны на рис. 6.24.

Рис. 6.24. АЧХ и нуль-полюсная диаграмма ЦФ-I.

 

Следует особо отметить, что рассмотренный способ расчета имеет общий характер в том смысле, что результатом расчета может быть как БИХ-, так и КИХ-фильтр. Поясним это положение таким примером.

Рис. 6.25. Преобразование входной последовательности.

 

Пусть на входе фильтра ЦФ2 действует последовательность с экспоненциальной огибающей (рис. 6.25):

                           

z -форма которой описывается выражением

                                     

Однако теперь выходная последовательность должна иметь прямоугольную огибающую и содержать только два отсчета: y (n) = 1, 1, 0, 0,... (рис. 6.25). Выражение для   z -формы имеет вид: Y (z) = 1 + z ^-1.

Действуя описанным выше способом, получим передаточную функцию рассчитываемого ЦФ2:

         

Это передаточная функция КИХ-фильтра, нули которой равны: z ₀₁ = - 1, z ₀₂ = B. Графики ДИХ и АЧХ показаны на рис. 6.26.

Рис. 6.26. ДИХ и АЧХ фильтра ЦФ-II.

 

Укажем еще на одну особенность, которую можно использовать в расчете ЦФ по заданным входным и выходным последовательностям.

Рассмотрим ЦФ с передаточной функцией:

                                                                              (6.106)

где H (z) - передаточная функция ЦФ с известными характеристиками (ДИХ, АЧХ и т.д.).

Представляя H (z) в самом общем виде: H (z) = Y (z)/ X (z), для H '(z) получим выражение: H '(z) = X (z)/ Y (z), из которого следует, что фильтр с передаточной функцией H '(z) получается путем инверсии H (z), т.е. перестановки числителя и знаменателя в передаточной функции H (z) исходного фильтра. Легко убедиться, что фильтр с передаточной функцией H '(z) отличается от фильтра с передаточной функцией H (z):

– нули функции H (z) превратились в полюсы, а полюсы - в нули;

– АЧХ H '(F) описывается функцией, обратной функции H (F);

– входная x (n) и выходная y (n) последовательности фильтра с передаточной функцией H '(z) поменялись местами по отношению к фильтру с передаточной функцией H (z).

 

Рис. 6.27. Нуль-полюсные диаграммы и АЧХ при инвертировании передаточной функции.

 

Отмеченные обстоятельства иллюстрируются на рис. 6.27, где приведены нуль-полюсные диаграммы и АЧХ двух фильтров, из которых один имеет передаточную функцию H (z), а другой - H '(z):

где   r = 0,707; F = p/4; z ₀₁ = 0,5; z _П1 = 0,5.

На этом же рисунке схематично показано, что выходная последовательность y (n)фильтра с передаточной функцией H (z)становится входной последовательностью x '(n) фильтра с передаточной функцией H '(z), а входная последовательность x (n)фильтра с передаточной функцией H (z)становится выходной последовательностью y '(n) фильтра с передаточной функцией H '(z).

 Рассмотрим возможность применения инверсии H (z) на конкретном примере. Пусть на входе фильтра действует цифровая последовательность, соответствующая зарядному напряжению U ₀ конденсатора в RC -цепи:

                                                                        (6.107)

Цифровой фильтр должен воспроизвести на своем выходе только уровень U ₀, исключив процесс установления, т.е. выходная последовательность y (n) должна иметь вид: y (n) = U ₀ при   n ³ 0. Такое требование может, например, иметь целью устранение задержки в определении неизвестного значения U ₀. Условия задачи иллюстрируются на рис. 6.28.

Рис. 6.28. Преобразование входного сигнала.

 

Каким образом решаются подобные задачи, мы уже знаем. Но в данном случае никаких расчетов производить не надо: достаточно обратить внимание на то, что входное воздействие   x (n) подобно переходной характеристике  g (n) фильтра с передаточной функцией 

                                      H (z) = a /(1- bz ^-1).                                          

Как показано в подразделе 5.3, g (n) определяется выражением

                                      

Для совпадения  g (n) с функцией x (n), определяемой по (6.107), необходимо, чтобы a /(1- b) = U ₀.

Что касается выходного эффекта, то это - единичная функция, используемая для снятия переходных характеристик, но с измененным уровнем, равным U ₀. Таким образом, передаточная функция H '(z) ЦФ, обладающего необходимыми свойствами, определяется соотношением (6.106), что для рассматриваемого случая дает:

                        H '(z) = 1/ H (z) = (1- bz ^-1)/(1- b) U ₀.

В последнее выражение надо ввести масштабирующий множитель U ₀ с тем, чтобы коэффициент передачи ЦФ для постоянной составляющей равнялся единице. Окончательно:

                                     

ДИХ полученного КИХ-фильтра  имеет два отсчета:   h (n) = 1/(1- b); - b /(1- b).

В качестве последнего примера рассмотрим, как можно спроектировать ЦФ, отвечающий следующим требованиям: на выходе ЦФ должна действовать цифровая косинусоида с частотой F = p:

                                   y (n) = cosp n,                                                  (6.108)

при входном воздействии в виде цифровой постоянной составляющей

                                        x (n) = 1, n ≥0,

действующей на неограниченном временном интервале.

На первый взгляд поставленная задача кажется невыполнимой. Действительно, как можно представить линейный фильтр, выделяющий гармоническое колебание из постоянной составляющей? Однако, то, что невозможно в аналоговой области, вполне реализуемо, как мы увидим, в области цифровой.

Воспользуемся общим определением передаточной функции ЦФ:

                                   H (z) = Y (z)/ X (z).                                              (6.109)

Поскольку входная x (n) и выходная y (n) последовательности заданы, то достаточно найти их z -формы и ввести в (6.109). В результате получим искомое выражение для передаточной функции заданного ЦФ.

Z -преобразование входной последовательности дает:

                                                            (6.110)

Для определения z -преобразования выходной последовательности используем материал Приложения 2. В принятых нами обозначениях z -пре­об­разование последовательности y (n) при произвольном значении F равно:

                                      

а при заданном значении F = p

                                             .                                         (6.111)

Этот результат может быть получен еще проще, если иметь в виду, что цифровая косинусоида (6.108) с частотой F = p представляет собой последовательность знакопеременных единиц:

                                                              (6.112)

С использованием (6.112) найдем z -преобразование Y (z):

                     

что совпадает с (6.111).

Введем (6.110) и (6.111) в (6.109) и получим передаточную функцию ЦФ, способного "выделить" из постоянной составляющей гармоническое колебание:

                                                                                  (6.113)

Рассмотрим поэтапно процесс формирования выходной последовательности y (n) = cosp n рассчитанного фильтра. Для этого представим (6.113) произведением двух функций:

            

Рис. 6.29. Структурная схема для преобразования сигнала.

 

На рис. 6.29 приведена структурная схема устройства, соответствующая этому выражению. Фильтр с передаточной функцией H ₁(z) является БИХ-фильтром 1-го порядка, ДИХ которого равна:

                                                                                    (6.114)

Рис. 6.30. Эпюры к структурной схеме на рис. 6.29: а) входная последовательность; б) ДИХ   h ₁(n); в) выходная последовательность 1-го каскада; г) выходная последовательность фильтра.

 

Действительно, z -преобразование над (6.111), так же, как и z -преобразование над (6.112), дает одно и то же выражение 1/(1 + z ^–1). На рис. 6.30,а показана входная последовательность x (n), а на рис. 6.30,б – ДИХ   h ₁(n).

Определим последовательность w (n) как свертку последовательностей x (n) и   h ₁(n):

                .                   (6.115)

Поскольку x (n) = 1, то

                                 

При фиксированном n значения m меняются от m = 0 до m = n. При этом текущий отсчет w (n) определяется суммой текущего отсчета h ₁(n) со всеми его предыдущими отсчетами:

n = 0, w (0) = h ₁(0) = 1,

n = 1, w (1) = h ₁(1) + h ₁(0) = 0,

n = 2, w (2) = h ₁(2) + h ₁(1) + h ₁(0) = 1,

.................................

Последовательность w (n) изображена на рис. 6.30,в. Ее можно представить как "приподнятую" цифровую косинусоиду:

                                  w (n) = 0,5 + 0,5cosp n                                           (6.116)

Эта последовательность является входной для КИХ-фильтра с передаточной функцией H ₂(z).

Нуль-полюсная диаграмма передаточной функции H ₂(z) содержит один действительный нуль z ₀ = +1. Коэффициент передачи фильтра определяется выражением:

        . (6.117)

 Подставляя в (6.117) значения F = 0  и  F = p,  найдем значения коэффициента передачи для постоянной составляющей: H ₂(0) = 0 и на частоте F = p: H ₂(F) = 2. Таким образом, при действии на входе фильтра последовательности w (n) на выход пропускается только гармоническая составляющая с амплитудой вдвое большей, чем в последовательности w (n):   y (n) = cosp n. Эпюра последовательности y (n) приведена на рис. 6.30,г. 

Описанный метод может быть использован для решения более сложных задач. Например, в рассмотренной задаче можно потребовать выделение на выходе фильтра цифровой косинусоиды с произвольно выбранной частотой F. Используя (6.110), и опуская промежуточные выкладки, приведем выражение для передаточной функции такого фильтра:

                       .