Прямой метод расчета БИХ-фильтра

6.4. Прямой метод расчета БИХ-фильтра

Существует класс фильтров, к расче­ту которых не могут быть привлечены методы, основанные на использовании оптимальных аппроксимаций АЧХ. К таким фильтрам, например, относятся:

- компенсационные фильтры, форма АЧХ которых выбирается в соответствии с требованиями к коррекции частотных потерь в обрабатываемом сигнале;

- фильтры с различными затуханиями в области подавления;

- специальные многополосные фильтры и т. д.

В ряде случаев расчет таких фильтров может быть успеш­но проведен рассмотренными выше методами согласованного или стандартного z -преобразований. Однако существуют и другие возможности, открываемые применением так назы­ваемых прямых методов расчета. Краткое описание одного из таких методов приводится в настоящем параграфе.

Отличительной особенностью этого метода является то, что процедура отыскания параметров фильтра (порядок, коэффициенты) производится по заданным характе­ристикам, которые непосредственно относятся к проекти­руемому фильтру, и такой расчет не требует привлечения аналога-прототипа.

Наиболее распространенным критерием, на котором бази­руется прямой метод расчета БИХ-фильтра, является кри­терий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО) в вос­произведении заданной АЧХ H (F), которая задается ограниченным набором выборок для дискретного ряда частот F _i, i = 1, 2, …, M.

Параметры фильтра, варьируемые в ходе расчета, считаются оптимизи­рованными, если минимум СКО принял требуемое значение.

Среднеквадратичная ошибка в воспроизведении АЧХ определяется выражением:

                                                         (6.100)

где – реальная АЧХ проектируемого БИХ-фильтра, определяемая на тех же частотах F _i,  что и заданная АЧХ H (F _i).

Структура проектируемого БИХ-фильтра, как правило, за­дается в последовательной (каскадной) форме, и передаточная функция фильтра записывается в виде:

                                                   (6.101)

Порядок N фильтра ориентировочно задается заранее на осно­ве эвристических оценок. Частотная характеристика БИХ-фильтра определяется из (6.101) при z = exp(j F)

                   (6.102)       

Реальная АЧХ  проектируемого БИХ-фильтра опреде­ляется как модуль | H (j F)|, вычисляемый при заданном на­боре фиксированных частот. Таким образом, ошибки при вос­произведении АЧХ, оцениваемые величиной Е (6.100), являют­ся функцией коэффициентов фильтра   a_k, b_k, c_k, d_k и масштаб­ного множителя А.

Определение минимума СКО Е_min сводится к задаче отыскания экстремума многомерной функции Е. Для этого определяются частные производные Е по каждой из перемен­ных a_k, b_k, c_k, d_k и А. После приравнивания этих производных нулю образуется система уравнений, число которых n равно: n = 4(N /2) + 1:

Совместное решение этих уравнений дает значения коэффи­циентов фильтра и множителя A, соответствующих вычислен­ной минимальной ошибке Е_min.

Если полученная таким образом ошибка превышает задан­ный уровень, то процедура расчета повторяется при новом, увеличенном значении порядка фильтра N.

Представленный здесь метод расчета описан весьма упро­щенно. Алгоритмы поиска Е_min достаточно сложны [10] и, как правило, включают в себя дополнения, позволяющие избежать увеличения ошибок, обусловленного неудачным выбором отсчетов требуемой АЧХ в ее переходных зонах или вбли­зи них.