Частотное преобразование типа аналоговый фильтр нижних

Частотное преобразование типа "аналоговый фильтр нижних

Рассматриваемый способ основан на модификации метода билинейного z -преобразования и позволяет непосредственно пересчитать фильтр нижних частот в БИХ-фильтр требуемого типа. Достоинство этого способа состоит в том, что его реализация не требует отыскания передаточной функции H (s)аналога-прототипа.

Рассмотрим возможности метода на примере преобразова­ния типа "аналоговый ФНЧ — цифровой ПФ".

Вначале обратимся к частотным соотношениям при били­нейном z -преобразовании, которые описываются выражением (6.49), представленным так:

                                                                             (6.92)

где F = W T – цифровая частота.

График функции (6.92) показан на рис. 6.20.

Рис. 6.20. Частотно-преобразующая функция при билинейном z -преобразовании.

 

Очевидно, что частотно-преобразующая функция (6.92) позволяет перевести аналоговый фильтр в цифровой точно такого же типа (т.е. ФНЧ→ЦФНЧ, ПФ→ЦПФ и т.п.). Достаточно очевидно, как следует модифицировать график рис. 6.20, чтобы получить возможность осуществить перевод аналогового фильтра нижних частот в цифровой полосовой фильтр. Такой модифицированный график показан на рис. 6.21.

Рис. 6.21. Модифицированная частотно-преобразующая функция.

 

На этом же рисунке изображены АЧХ H (w) фильтра нижних частот и пересчитанная АЧХ H (Ф) полосового БИХ-фильтра. Математическое представление графика частотно-преобра­зующей функции удобнее всего составить с помощью котангенсоиды

                                                                     (6.93)

Такой форме частотно-преобразующей функции соответствует фиксированное значение Ф₀ = p/2. Для того чтобы параметром Ф₀ можно было варьировать, выражение (6.93) следует видоизменить:

                                                                       (6.94)

Теперь необходимо определить величины k и cosФ₀, пред­ставив их как функции заданных частот среза Ф_С1 и  Ф_С2 проектируемого полосового БИХ-фильтра. Для этого, исполь­зуя (6.94), составим систему из двух уравнений:

                                                           (6.95)

Решением этих уравнений определяются две неизвестные величины – cosF₀ и k:

               (6.96)

Наконец, найдем замену s → j(z), позволяющую на основе передаточной функции H (s)аналогового фильтра нижних частот непосредственно определить передаточную функцию H (z) полосового БИХ-фильтра. Для этого, умножив обе части равенства (6.94) на j и использовав формулы Эйлера

                                     

перепишем (6.94) в следующем виде:

                             .                     (6.97)

Преобразуя (6.97), получим:

                                                      (6.98)

Таблица 6.1

Вид перехода от аналогового фильтра низких частот к заданному типу  цифрового фильтра	Связь операторов аналогового фильтра s и цифрового z
ФНЧ→ЦФВЧ
ФНЧ→ЦПФ
ФНЧ→ЦРФ

 

Введем в (6.98) символы операторов s = j w, z = exp(j F) и получим окончательное выражение для замены s → j(z):

                                                                                     (6.99)

где k и cosF₀ определяются формулами (6.96).

В табл. 6.1 приведена сводка формул, используемых для расчета рассмотренным способом БИХ-фильтров различных типов.