Приложение 3. Способы вычисления

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Основные задачи, решаемые с помощью обратного z- преоб­разова­ния, следующие:

– определение по z -форме Y (z) последовательности y (n);

– определение ДИХ   h (n) по заданной передаточной функции филь­тра H (z).

Обратное преобразование производится интегрированием

                                                               (П.3.1)

Однако помимо вычисления по формуле (П.3.1) существует достаточно большой набор способов вычисления обратного z- преоб­разова­ния, которые будут рассмотрены ниже.

Вычисление интеграла (П.3.1) через вычеты

В соответствии с теоремой вычетов интеграл, взятый от функции f (x) по замкнутому контуру, охватывающему ее особые точки a_k (полюсы), равен произведению 2p j на сумму вычетов во всех этих особых точках:

                                                 (П.3.2)

С учетом (П.3.2) формула (П.3.1) примет вид

                                                         (П.3.3)

Если f (x) является дробно-рациональной функцией: f (x) = j(x)/y(x), где j(x) и y(x) - полиномы, a_k - простые корни уравнения y(x) = 0, то точки a_k являются полюсами 1-го порядка, и вычеты в них определяются так:

                                                               (П.3.4)

Например, z -форма

                                                                                  (П.3.5)

имеет один полюс 1-го порядка z _П = b, и последовательность x (n), соответствующая  (П.3.5), определится с применением (П.3.3) и (П.3.4) так:

     

Вычет в кратном полюсе m -го порядка определяется формулой

                   (П.3.6)

Например, найдем обратное z -преобразование функции

                                    

имеющей один полюс 2-го порядка z _П.1 = z _П.2 = z _П. Используя (П.3.3) и (П.3.6), получим

          

Разложение z - формы на простые дроби

Идея этого метода состоит в том, чтобы заданную z -форму представить суммой более простых функций, для которых обратные z -преобразования уже известны. В качестве такой более простой функции целесообразно принять

                                                                           (П.3.7)

для которой

                                        x (n) = abⁿ.

Пример. Найдем обратное z -преобразование функции

                                                      (П.3.8)

Представим (П.3.8) суммой элементарных дробей

        (П.3.9)

Значения величин   A и B найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этого приведем правую часть (П.3.9) к общему знаменателю и получившийся полином в числителе почленно приравняем к полиному числителя левой части (в данном случае этот полином равен единице):

                                                                           (П.3.10)

Решение системы уравнений (П.3.10) дает: A = 0,4 и B = 0,6, откуда следует, что заданная z -форма (П.3.8) может быть представлена так:

                       

Используя соответствие: a /(1 - bz ^-1) Þ abⁿ, получим:

                                                     (П.3.11)

Деление числителя z - формы на ее знаменатель

Смысл метода заключается в том, чтобы преобразуемую функцию представить полиномом по степеням   z ^{- k}:

                                                (П.3.12)

Сумма в (П.3.12) является развернутой формулой (3.3) z -преобразования последовательности a_k. Значения отсчетов последовательности x (n) определяются в соответствии с выражением: x_k = a_k.

Пример. Найдем обратное z -преобразование функции (П.3.8). Разделим ее числитель на знаменатель:

Значения последовательности x (n) представлены в табл. П3.1.

                                                                                   Таблица П3.1.

n	x (n)
	0,250
	0,437
	0,203
...	...

 

Ограниченность рассмотренного способа состоит в том, что результат расчета представляется таблицей, а не формулой, как, например, (П.3.11).

Разложение z - формы в ряд по степеням z ^{- 1}

По смыслу этот метод аналогичен предыдущему. Здесь z -форма также представляется полиномом, но посредством ее разложения в ряд, например, в ряд Маклорена:

         

Выражение для определения искомой последовательности x (n) может быть записано так:

                                            (П.3.13)

Мы рассмотрели несколько способов определения обратного z -пре­образо­ва­ния. При решении конкретной задачи предпочтительным является способ, не требующий громоздких вычислений.

 

Список литературы

 

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов.–М.: Высш. шк., 1988. - 448 с.

2. Васильев В.П. Цифровые фильтры в радиоприемных устройствах (Основы цифровой фильтрации): Учеб. пособие. – М.: Моск. энерг. ин-т, 1987. - 90 с.

3. Васильев В.П. Цифровые фильтры в радиоприемных устройствах (Методы расчета): Учеб. пособие. – М.: Моск. энерг. ин-т, 1990. - 84 с.

4. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Учеб. пособие для вузов.–М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1962. - 1098 с.

6. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров.: Учеб. пособие для вузов.–М.: Высш. шк., 1982. - 106 с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров/ Пер. с англ.– М.: Наука, 1970. - 720 с.

8. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация. / Пер. с англ.– М.: Мир, 1982. - 592 с.

9. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров/ Пер. с англ.– М.: Мир, 1984. - 320 с.

10. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов/ Пер. с англ.– М.: Мир, 1978. - 848 с.

11. Радиоприемные устройства: Учеб. для вузов./ Под ред. В.И. Сифорова. – М.: Сов. Радио, 1974. - 560 с.

12. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. - 608 с.

13. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 1/ Пер. с англ.– М.: Мир, 1988. - 336 с.

14. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 2/ Пер. с англ.– М.: Мир, 1988. - 360 с.

15. Христиан Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчету фильтров/ Пер. с англ.– М.: Связь, 1975. - 408 с.