Приложение 2. Преобразования типовых последовательностей

Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТИПОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Как известно, z -преобразование используется в решении двух основных задач:

– для определения передаточной функции H (z) цифрового фильтра по заданной дискретной импульсной характеристике h (n);

– для перевода входной последовательности x (n) в z -форму, с тем, чтобы по заданной передаточной функции H (z) определить реакцию фильтра Y (z) = X (z) H (z).

Вне зависимости от конкретной цели z -преобразования, в приводимых ниже примерах оригинал и его z -форма будут обозначаться x (n) и X (z) соответственно.

1. Единичный импульс.

                           

Воспользуемся выражением (3.3) для z -преобразования:

       

откуда следует:

                                             X (z) = 1.                                             (П.2.1)

Формула (П.2.1) устанавливает, что z -преобразование от единичного импульса является константой.

2. Единичная функция.

                                x (n) = 1 при n ³ 0.

Используя (3.3), запишем:

                          

Бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем q = z ^{- 1} равна:

                            

и окончательно:

                                                                                  (П.2.2)

Функция (П.1.2) имеет один нуль в начале координат z ₀ = 0 и один полюс на окружности единичного радиуса z _П = 1 (рис. П.2.1).

Рис. П.2.1. НПД z -формы единичной функции.

 

3. Экспонента.

                              

Используя тот же прием, что и в предыдущем случае, представим z -преобразование в виде суммы членов геометрической прогрессии:

                    

где q = bz ^{- 1}.

Окончательно получаем:

                                                                                  (П.2.3)

Функция (П.2.3) имеет один нуль z ₀ = 0 и один полюс z _П = b (рис. П.2.2).

Рис. П.2.2. НПД  z -формы цифровой экспоненты с действительным показателем.

 

4. Комплексная экспонента.

                          

Этот пример аналогичен предыдущему:

                                                                            (П.2.4)

Нуль (z ₀ = 0) и полюс (z _П = e ^{j q}) функции (П.2.4) показаны на рис. П.2.3.

Рис. П.2.3. НПД  z -формы комплексной экспоненты.

 

5. Произведение экспоненты на линейную функцию x (n) = nbⁿ.

                                                        (П.2.5)

где q = bz^{- 1}.

Сумму членов степенного ряда (П.2.5) можно определить из справочных таблиц [5]:

                                      

После подстановки получаем:

                                                                                 (П.2.6)

Функция (П.2.6) имеет один нуль z ₀ = 0 и двукратный полюс z _П.1,2 = b (рис. П.2.4).

Рис. П.2.4. НПД  z -формы функции x (n) = nbⁿ.

 

6. Косинусоида с экспоненциальной амплитудой

                       

В общей записи z -преобразования

                        

косинусную функцию представим как функцию комплексного аргумента

                             

После подстановки получим:

                           

где

                  

Применим формулу суммирования членов геометрической прогрессии:

                              

Используя формулу Эйлера [exp(j q) + exp(- j q)] = 2cosq, получим окончательно:

                                                           (П.2.7)

Функция (П.2.7) имеет два нуля z ₀₁ = 0; z ₀₂ = a cosq и пару комплексно-сопряженных полюсов

  

Нуль-полюсная диаграмма функции (П.2.7) показана на рис. П.2.5.

Рис. П.2.5. НПД  z -формы косинусоиды с экспоненциальной амплитудой.