Выборочное наблюдение. В целом ряде случаев средние и относительные величины для какой-либо совокупности рассчитываются на основе данных выборочного наблюдения,суть которого

Тема 7

В целом ряде случаев средние и относительные величины для какой-либо совокупности рассчитываются на основе данных выборочного наблюдения, суть которого заключается в том, что из генеральной совокупности наудачу, чисто случайно, отбирается я единиц, составляющих выборочную совокупность; для отобранных единиц рассчитываются обобщенные характеристики (средние или относительные показатели), а затем результаты выборочного об­следования распространяются на всю генеральную совокупность. Основной задачей при этом является определение ошибок выбор­ки, т.е. возможных расхождений между выборочной средней и генеральной или между выборочной долей единиц, облада­ющих изучаемым признаком, и генеральной долей.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки характеризует среднюю величину возможных расхождений выборочной и генеральной средней (или доли) и представляет собой по форме и содержанию среднее квад-ратическое отклонение возможных значений выборочной средней от генеральной.

В математической статистике доказывается, что — диспер­сия возможных значений выборочной средней — в я раз меньше дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности,

т.е.

Исходя из этого средняя ошибка выборочной средней при повторном отборе определяется по формуле

где — дисперсия изучаемого показателя в генеральной совокуп­ности*; п — объем (численность) выборки.

* Так как дисперсия изучаемого показателя в генеральной совокупности неизвестна, то фактически в формулу подставляется выборочная дисперсия, которая при большом числе наблюдений близка к дисперсии генеральной совокупности.

Как видно из формулы, средняя ошибка выборки при по­вторном отборе зависит от показателя вариации и от объема выборки

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

Где — выборочная доля единиц, обладающих изучаемым призна­ком;

— дисперсия доли (альтернативного признака).

При бесповторном отборе в формулах под знаком ради­кала появляется множитель, где — численность гене­ральной совокупности.

Говоря об ошибках выборки, следует иметь в виду, что в каждой конкретной выборке разность или может быть меньше, больше или равна И вероятность каждой такой ошибки различна.

Отклонение выборочной характеристики от генеральной назы­вается предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки, обозначаемая через рассчиты­вается как кратная средняя ошибка, т.е.

где — средняя ошибка выборки;

— коэффициент доверия, т.е. показатель, зависящий от вероятности, с которой предель­ная ошибка определяется.

Общая формула предельной ошибки выборки для средней

приобретает вид

(для повторного отбора)

или

(для бесповторного отбора),

а для доли — соответственно

и

Теоретической основой определения (расчета) той или иной ошибки выборки служит ряд известных теорем теории вероятностей, в частности теоремы П.Л. Чебышева, Я. Бернулли и А.М. Ля­пунова.

Теорема Чебышева (применительно к выборочному методу) гла­сит: сколь угодно близка к единице вероятность того, что при до­статочно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии разность между выборочной средней и генеральной будет сколь угодно мала, т.е.

Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебыше­ва и касается расхождения между долями единиц, обладающих изучаемым признаком, в выборочной и генеральной совокупности, т.е. разности

Согласно так называемой центральной предельной теореме Ля­пунова при большом объеме выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней, а следо­вательно, и отклонения последней от генеральной подчиняется закону нормального распределения и поэтому вероятность задан­ной предельной ошибки может быть найдена как функция от с помощью интеграла вероятностей Лапласа:

Где — нормированное отклонение выборочной средней от генеральной.

Значения интеграла Лапласа для разных рассчитаны и при­ведены в специальных таблицах (см. Приложение 2). Так, при вероятность Р= 0,683. Это означает, что с вероятностью 0,683 (или 68,3%) можно гарантировать, что отклонение генеральной средней от выборочной не превысит однократной средней ошибки, т.е. что в генеральной совокупности среднее значение признака будет находиться в пределах

Аналогично при с вероятностью Р= 0,954 (точнее, 0,9545) можно гарантировать, что предельная ошибка не выйдет за размер

Сказанное относится и к расхождениям между выборочной долей единиц, обладающих определенным признаком, и гене­ральной долей. Так:

Наряду с абсолютной величиной предельной ошибки в статис­тической практике рассчитывается относительная ошибка — про­центное отношение абсолютной ошибки к исследуемому пара­метру:

Можно и непосредственно определить относительную ошибку

по формуле где — коэффициент вариации.

Выборка считается репрезентативной, если

Формулы предельной ошибки несколько конкретизируются и в зависимости от применяемого вида выборки. Так, указанные формулы применимы для собственно случайной и механической выборок. Для типической (районированной) выборки, т.е. когда генеральная совокупность делится на группы по какому-либо су­щественному признаку, а затем из каждой группы производится случайный отбор и общая средняя величина признака (или доля) определяется по групповым выборочным показателям, в формуле предельной ошибки выборки учитывается средняя из групповых дисперсий, т.е.

В этом случае ошибка выборки зависит от внутригрупповой вариации.

При серийной (гнездовой) выборке, когда из генеральной сово­купности, разбитой на определенные равновеликие серии (гнезда), случайно отбираются серии, внутри которых проводится сплошное наблюдение, величина ошибки выборки зависит не от числа об­следованных единиц, а от числа обследованных серий и от ве­личины межсерийной дисперсией

Серийная выборка в основном проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет вид

где — межсерийная дисперсия;

— число отобранных серий;

— число серий в генеральной совокупности.

Все рассмотренные формулы используются при так называемой большой выборке

Если то выборка именуется малой* и при расчете ошибок выборки необходимо учитывать следующие моменты. Во-первых, в формуле средней ошибки в знаменателе принимается п - 1, т.е.

И во-вторых, при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки или определении доверительных интервалов иссле­дуемого показателя в генеральной совокупности пользуются таб­лицами вероятности Стьюдента (см. Приложение 3), где определяется в зависимости от объема выборки и При этом надо иметь в виду, что найденное по таблице Приложения 3 значение функции характеризует вероятность того, что фактический (рассчитанный) коэффициент доверия не превысит заданного t (табличного), т.е. и графически эта вероятность равна площади, ограниченной кривой распределения Стьюдента и осью абсцисс в интервале от

Следовательно, характеризует вероятность того, что т.е. что выйдет за пределы с правой стороны. Если же рассматривать по модулю, т.е. то вероятность выхода его за заданные пределы в обе стороны будет равна

Отсюда вероятность нахождения в пределах от будет равна

Иными словами, при малой выборке вероятность попадания среднего значения изучаемого признака в генеральной совокупно-

* Понятие малой выборки некоторыми авторами распространяется до n<30.

Формулы предельной ошибки выборки позволяют решить сле­дующие три задачи:

1. Определить доверительные пределы: для генеральной средней

для доли

2. Определить вероятность допуска той или иной заданной ошибки

В этом случае определяется и по таблице Приложения 2 (при) находится вероятность

При т.е. при малой выборке, сначала рассчитывается и по таблице Приложения 3, определяется, а затем уже рассчитывается

3. Определить необходимую численность выборки, обеспе­чивающую с определенной вероятностью заданную точность

Формулы для n получаются из соответствующих формул пре­дельной ошибки.

Как видно, в формулах для определения необходимой числен­ности выборки, получаемых из формул случайной ошибки выбор­ки, предполагается обязательное знание величины дисперсии при­знака или

Обычно в этих формулах используется значение дисперсии при­знака в аналогичных предшествующих исследованиях или же про­водится пробное обследование небольшого числа единиц, для ко­торых определяется значение. Если изучается доля определен­ных единиц в совокупности, а какие-либо сведения о дисперсии отсутствуют, принимается максимальное значение, равное 0,25.