Принятие оптимального решения с использованием метода дерева решений

Специфическим графическим инструментом анализа проблем­ных ситуаций являются, так называемые, деревья решений. Тер­мин получил свое название от древообразующей структуры схемы.

С помощью этого метода решается целый ряд задач, когда имеются два или более последовательных множества решений, причем, последующие решения основываются на результатах пре­дыдущих состояний среды, т.е. появляется цепочка решений, вы­текающих одно из другого. Подобные задачи проще решать с ис­пользованием дерева решений, которое представляет собой гра­фическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для всевозможных комбинаций.

Для упрощения применения этого метода разобьем его на не­сколько этапов.

На первом этапе формулируем задачу. Отбрасываем не отно­сящиеся к проблеме факторы, а оставшиеся подразделяем на су­щественные и несущественные. Далее: определяем возможности сбора информации для экспериментирования и реальных дей­ствий; составляем перечень событий, которые с определенной ве­роятностью могут произойти: устанавливаем временной порядок расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, ко­торые можно предпринять.

На втором этапе строим дерево решений. Оно состоит из двух основных частей: «решений» и «вероятностных событий». Они представлены квадратами (рис. 3.1). Эти решения и вероятност­ные события связаны, что видно из последующих примеров.

Рис. 3.1. Составные части дерева решений

Суть третьего этапа состоит в оценке вероятностей состояний среды, т.е. сопоставлении шансов возникновения каждого конк­ретного события.

Установление выигрышей (или проигрышей, как выигры­шей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) состояний среды составляют четвертый этап.

На пятом этапе решается задача.

Дерево решений состоит из ряда узлов и исходящих из них вет­вей. Квадраты обозначают пункты принятия решений (или воз­можные события), а дуги соответствуют переходам между логи­чески связанными решениями и случайными событиями. Из вер­шин — решения (квадратов) исходит столько дуг, сколько имеется вариантов (альтернатив), выбор конкретной дуги (вариант реше­ния) осуществляется ЛПР. Из вершины — события также может исходить несколько дуг. Но здесь уже выбор осуществляется слу­чайным образом в соответствии с заданными вероятностями от­дельных исходов.

После того, как дерево решения построено, оно анализирует­ся справа налево, т.е. начинать надо с последнего принятого ре­шения. Для каждого решения выбирается альтернатива с наиболь­шим показателем отдачи (или с наименьшими затратами). Если за принятием решения следует несколько возможных вариантов событий, то выбирается альтернатива с наибольшей предполага­емой прибылью (или с наименьшей предполагаемой величиной затрат).

Рассмотрим задачу максимизации ожидаемой прибыли от акций.

Предположим, что мы владеем акциями стоимостью 1000 у.е. Мы должны принять решение относительно того, держать ли ак­ции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 у.е. Ве­роятность 20%-го роста курсовой стоимости акции составляет 0,6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% — 0,4. Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизировать ожи­даемую прибыль?

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью дерева решений на рис. 3.2. Диаграмма содержит величину дохо­дов или расходов в случае принятия того или иного решения. На­пример, вариант «продажи» даст доход в 1000 у.е. (показан как + 1000 на дереве). В противоположность этому, вариант «покуп­ки» принесет расходы в сумме 500 у.е. (показаны как — 500 на дереве). Если мы продадим акции, тогда их у нас будет ноль. Если мы просто будем держать акции, то в случае 20%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 у.е., а в случает 20%-ного спа­да — 800 у.е. В другом случае, после покупки акций еще на 500 у.е., при подъеме рынка мы окажемся обладателями акций стоимос­тью 1800 у.е., а при падении — стоимостью 1200 у.е. Данные зна­чения указаны в конце каждой ветви в правой части дерева реше­ний (рис. 3.3). Дерево также показывает вероятности возможных событий (т.е. рост или падение курсовой стоимости акций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции стоит 500 у.е. (т.е. в данной точке диаг­раммы указано — 500 у.е.). Аналогично, продажа акций даст до­ход в 1000 у.е., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева.

Рис. 3.2. Покупать, продавать или ни то, ни другое

Рис. 3.3. Дерево решений

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожидаемых значений, как это показано на рис. 3.4. Таким образом, ожидаемое значение в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каждой вероятности на значение в конце ветви, т.е. ожидаемое значение в блоке А составляет 0,6 х 1800 + 0,4 х 1200 = 1560 у.е. Аналогично, ожидаемое значе­ние для блока Б составляет 0,6 х 1200 + 0,4 х 800 = 1040 у.е.

Рис. 3.4. Ожидаемые значения

И наконец, можно принимать решение на основании вывода ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к блоку решений В. Три возможных пути обратно к блоку В дают сле­дующие значения:

Вариант 1: 1560 - 500 = 1060 у.е.

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 у.е.

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 у.е.

Следовательно, на основании данного критерия с целью макси­мизации ожидаемой стоимости акций мы предпочтем вариант 1. Таким образом, мы решим купить еще акций на сумму в 500 у.е., что даст нам ожидаемую чистую прибыль в 1060 у.е. Это значение показано в блоке В, а путь решения выделен, как показано на рис. 3.4. Следует отметить, что этот простой способ принятия ре­шений, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы будем говорить в следующем примере.

С помощью дерева решений рассмотрим задачу выбора опти­мального проекта реконструкции фабрики — химчистки.

Руководство компании решает реконструировать фабрику — химчистки по одному из трех проектов. Размер выигрыша, кото­рый компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.4).

Таблица 3.4