Тема 3. Принятие оптимального решения в условиях экономического риска

Сравнительная оценка вариантов решений в зависимости от критериев эффективности

Таблица коэффициентов оптимальности

Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица

Критерий Гурвица позволяет учитывать комбинации наихуд­ших состояний. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характери­зующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждо­го решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей.

Предпочтение отдается варианту решения, для которого ока­жется максимальным показатель E_i, т.е.

(2.10)

где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 ≤ k ≤ 1).

При k = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как боль­ший выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При k = 1 — ориентация на осторожное поведение. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонно­сти к риску ЛПР.

Пример. Анализируется матрица полезного результата, име­ющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма k = 0,6 найдем оптимальную стратегию P_i.

Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию:

Е ₁ = 0,6 • 49 300 + (1 - 0,6) • 197 200 = 108 460,

Е ₂ = 0,6 • (- 60) + (1 - 0,6) • 297800 =119 084,

Е ₃ = 0,6 • (- 1140) + (1 - 0,6) • 393 600 = 147 756.

Выбираем наибольшее из этих значений:

Е_iг = mах{108460; 119084; 147756}.

В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147 756 у.е. при выборе объема производства Р ₃ = 1 980 000 у.е.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

(2.11)

Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, при­веденная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стра­тегию с помощью критерия Гурвица (2.11).

Вычисляем при коэффициенте оптимизма k = 0,6 линейные комбинации:

Е_{r 1} = 0,6 • 196400 + (1 - 0,6) 0=117840,

Е_{r 2} = 0,6 • 95800 + (1 - 0,6) • 0 = 57480,

Е_{r 3} = 0,6 • 101000 + (1 - 0,6) • 0 = 60600.

Находим E_ri = min{ 117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства Р ₂ = 1500000 у.е.

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов про­дукции, приведенная в табл. 2.2. Исследовать зависимость Е_i от различных значений коэффициента оптимизма k и показать оп­тимальные решения.

Результаты вычислений по формуле (2.10) сведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Значения показателей E_i и Е_iг для различных k

Решение	Значение коэффициента k
0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
Р 1	0,4	0,37	0,34	0,31	0,28	0,25
P 2	0,75	0,64	0,53	0,42	0,31	0,2
Р 3	0,8	0,66	0,52	0,38	0,24	0,1
Р 4	0,9	0,76	0,62	0,48	0,34	0,2
Еiг	0,9	0,76	0,62	0,48	0,34	0,25
Оптимальное решение	Р 4	Р 4	Р 4	Р 4	Р 4	Р 1

Как видим, с изменением коэффициента к изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение. Сведем все критерии оптимальности в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Показатель	Формула	Название
Наибольшая осторожность		Критерий гарантирован­ного результата (Вальда)
Наименьшая осторожность		Критерий оптимизма
Крайняя осторожность		Критерий пессимизма
Минимальный риск		Критерий Сэвиджа
Компромисс в решении	или	Критерий Гурвица Критерий Гурвица отно­сительно матрицы рисков

Наличие нескольких критериев выбора эффективных альтер­натив вносит дополнительную неопределенность при принятии наиболее предпочтительных решений.

Таким образом, имеет место неопределенность двух видов:

1) неопределенность, обусловленная отсутствием или недостат­ком информации об анализируемых процессах;

2) неопределенность, причиной которой является наличие не­скольких принципов оптимальности.

Пусть при выборе эффективных решений при наличии неуп­равляемых факторов используется множество критериев опти­мальности G = { G_i }, i = . Составляющими G_i могут быть кри­терии: гарантированного результата, Сэвиджа, пессимизма и т.д.

Критерии G_i являются функцией управляемых факторов P = { P_i }, i = , и неуправляемых факторов П = { П_i }, i = .

Располагая множеством критериев G = { G (P, П) _i }, i = не­обходимо выбрать эффективное решение с учетом указанной со­вокупности решений.

Проанализируем решения примеров.

Анализ выпуска новых видов продукции (табл. 2.2) позволяет выделить следующие лучшие стратегии: по критерию гарантиро­ванного результата — Р ₁, по критерию оптимизма — Р ₄, по кри­терию пессимизма — Р ₃, по критерию Сэвиджа — Р ₃, по крите­рию Гурвица (пессимизма — оптимизма) при k = 0,6 – Р ₄.

Поскольку стратегии Р ₃ и P ₄, фигурируют в качестве оптималь­ных по два раза, то к практическому применению можно реко­мендовать или стратегию Р ₃ или Р ₄. Вместе с тем, стратегия Р ₃ является более осторожной и скорее всего ЛПР выберет страте­гию Р ₃.

Проведем анализ коммерческой стратегии компании при нео­пределенной конъюнктуре. Исследование матрицы платежеспо­собного спроса, представленной в табл. 2.4, показывает, что луч­шими являются следующие стратегии: по критерию гарантирован­ного результата — Р ₁, по критерию оптимизма — Р ₃, по критерию пессимизма — P ₃, по критерию Гурвица при k = 0,6 — Р ₃.

Так как стратегия P ₃ повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти, то степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, чтобы рекомендовать эту стратегию к практическому применению.

При рассмотрении платежных матриц больших размерностей (m + n — большое) можно быстро, не проводя громоздких вычис­лительных операций, оценить предлагаемые варианты решений и выбрать из них оптимальный. В этом заключается наиболее су­щественное преимущество теории оптимальных критериев.

Из этих примеров видно, что в случае отсутствия информации о вероятностях состояний среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендаций по выбору критериев при­нятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный ра­зумный выход в подобных случаях — попытаться получить до­полнительную информацию, например, путем проведения иссле­дований или экспериментов. В отсутствие дополнительной инфор­мации принимаемые решения теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя примене­ние математических методов в играх с природой не дает абсолют­но достоверного результата и последний в определенной степени является субъективным (вследствие произвольности выбора кри­терия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задают­ся множество состояний природы, альтернативные решения, вы­игрыши и потери при различных сочетаниях состояния «среда — решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений.