Алгебраические многочлены

2.1. Корень алгебраического многочлена и его кратность

Пусть n – заданное натуральное число, а , , ¼, – заданные комплексные числа. Выражение

, где z С назовем алгебраическим многочленом степени не выше n и обозначим через : . Числа , k = 0, 1, ¼, n, называют коэффициентами мно- гочлена , называют старшим коэффициентом этого многочлена.

Если , назовем многочленом степени n. Если , то назовем многочленом степени 0; в этом случае, очевидно, " z Î C .

Пусть ,,- многочлен степени n, n ³ 1, и пусть a – некото- рое комплексное число. Поделим на двучлен z – a. Результат запишем в виде равенства , справедливого при всех комплексных z. Здесь - многочлен степени n- 1 (частное), а S – число (остататок). Найти и S можно с помощью процедуры деления “уголком”, известной из школьного курса ал- гебры. Если S , говорят, что делится на z – a без остатка.

Замечание 1. При делении многочлена на z – a старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту , т.е., .

Пусть - некоторый многочлен, a - некоторое комплексное число. Если , то число a называют корнем алгебраического многочлена

Фундаментальную роль играет следующая теорема, которая принадлежит К. Гауссу и которую обычно называют основной теоремой алгебры.

Теорема 1 ( Гаусс ). Всякий алгебраический многочлен степени n, n ³ 1, имеет хотя бы один корень.

Доказательство этой теоремы средствами теории функций комплексного пере- менного будет приведено позже.

Теорема 2 ( Безу ). Пусть ,, – некоторый многочлен степени n, n ³ 1, и пусть a Î C – некоторое число. Для того, чтобы a являлось кор- нем , необходимо и достаточно, чтобы без остатка делился на разность z – a

Необходимость. Поделив на , получим:

, где S Î C. Подставим в это равенство z = a: ; так как a - корень , то .

Достаточность. Пусть ; тогда . Подставив z = a, получим: , т.е. a – корень .

Следствие. Пусть ,, – многочлен степени n, n ³ 1, и пусть a, a Î C, – корень этого многочлена. Существуют натуральное число k, 1 £ k £ n, и многочлен степени n – k такие, что и " z Î C

. (14)

Поделив на z – a, получим в силу теоремы Безу:

" z Î C , (15) где - многочлен степени n -1, старший коэффициент которого равен (см. замечание 1).

Возможны два случая: и . В первом случае утверждение теоремы справедливо, так как (15) есть (14) при k = 1. Во втором случае a является кор- нем и потому делится на z – a без остатка: , где - многочлен степени n - 2. Подставив в (15), получим:

" z Î C . (16)

Возможны два случая: и . В первом случае утверждение теоремы справедливо. так как (16) есть (14) при k = 2. Во втором случае поделим на z – a: . Отсюда:

" z Î C , и снова рассматриваем два случая: и . Описываемый процесс приводит к построению последовательности многочленов , , ¼, где каждый последующий многочлен получен делением предыдущего на разность z – a, причем (см. замечание 1) старший коэффициент каждого из них равен . Так как степень частного на единицу ниже степени делимого, то эта последовательность состо- ит не более чем из n многочленов, а последний многочлен уже не делится на z – a без остатка, ибо . Завершив построение указанной последовательности, получим:

" z Î C , где , т.е. получим равенство (14) при k = l, l n.

Замечание 2. При k = n представление (14) выглядит так:

" z Î C . (17)

Замечание 3. Число k в представлении (14) определяется единственным обра- зом. Действительно, допустим, что имеются два таких представления: " z Î C

и , где , . Допустим, что . Имеем: = . Так как и – натуральные числа и , то . Подставив z = a, получим: , что противоречит усло- вию . Возможность опровергается аналогично. Значит, .

Число k в представлении (14) называют кратностью корня a.

Замечание 4. Число a является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, когда этот многочлен без остатка делится на при m = 1, 2, ¼, k и не делится на при m > k.

Это утверждение легко следует из (14).

Если кратность корня a многочлена равна единице, его называют прос- тым корнем этого многочлена.

2.2 Разложение многочлена на линейные множители

Теорема 3. (О разложении многочлена на линейные множители)

Пусть – алгебраический многочлен степени n, n ³ 1. Тогда:

1) имеет не более n попарно различных корней;

2) если , , ¼, , m £ n, – все попарно различные корни , а , ,¼, – кратности этих корней (есть кратность ), то

а) сумма всех кратностей равна степени многочлена: ;

б) справедливо представление:

" z Î C . (18)

По теореме Гаусса существует хотя бы один корень . Пусть - корень , а - его кратность. Тогда (см. (14)):

" z Î C , причем . Возможны два случая: и . В первом случае справедливо представление (см. (17)): " z Î C , т.е., справедливо (18) при m =1. Во втором случае степень не меньше единицы, и по теореме Гаусса существует корень этого многочлена.

Пусть - корень , а - кратность этого корня. Очевидно, . Имеем (см. (14): " z Î C , где . Отсюда:

" z Î C .

Возможны два случая: , т.е. , и . В первом случае , поэтому . Следовательно, имеет два корня и , и (18) справедливо при m =2. Во втором случае степень многочлена не меньше единицы, значит, существует корень этого многочлена. Если - кратность , то и

,

Снова возможны случаи и . В первом из них " z Î C - представление (18) при m = 3, во втором – существует корень многочлена , и рассуждения можно продолжить. Конечным их результатом и будет представление (18), сумма кратностей в котором равна n. Так как кратность всякого корня – натуральное число, а сумма кратностей равна n, то количество попарно различных корней многочлена не может превышать n.

Представление (18) называют разложением многочлена на линейные множители.

Замечание 5. Если , , ¼, - все попарно различные корни многочлена , то сумма их кратностей равна степени многочлена. Этот результат часто форму- лируют так: всякий алгебраический многочлен степени n, n ³ 1, имеет ровно n кор- ней с учетом их кратностей (т.е. если каждый корень учитывать столько раз, какова его кратность).

Пример. Пусть . Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что это число является корнем . Значит, делится на разность . Произведя деление, получим:

.

Таким образом, имеет три различных корня: простой корень –1 и корни ± i, кратность каждого из которых равна 2. Представление (18) для него выглядит так:

Следствие 1. Пусть есть многочлен степени не выше n, и пусть каждое из n + 1 попарно различных чисел , , ¼, является корнем : , j = 1, 2, ¼, n + 1. Тогда все коэффициенты равны нулю, т.е. , k = 0, 1, ¼, n, и, следовательно, тождественно на C равен нулю.

является алгебраическим многочленом, степень которого не превышает n. Значит, количество попарно различных корней , , ¼, этого многочлена (их n + 1) больше его степени. Согласно теореме 3, если степень многочлена является на- туральным числом n, то количество его попарно различных корней не может превы- сить n. Значит, степень многочлена не может быть натуральным числом, т. е., является многочленом степени 0. В таком случае , и . Но , поэтому и . Таким образом, все коэффициенты равны нулю.

Следствие 2. Пусть многочлены и при- нимают совпадающие значения в n + 1 попарно различных точках , , ¼ …,: , j = 1, 2, ¼, n + 1. Тогда наборы коэффициентов и одинаковы: при всех k = 0, 1, ¼, n.

Обозначим: . При каждом j, j = 1, 2, ¼, n + 1, имеем , т.е. многочлен имеет n + 1 попарно различных корней. По следствию 1 все его коэффициенты равны нулю , k = 0, 1, ¼, n. Отсюда: , k = 0, 1, ¼, n.

Пусть и - два многочлена. Будем говорить, что они равны и запи- сывать при этом , если их значения совпадают при всех комплексных z:

" z Î C .

Следствие 3. Пусть , . Для того, чтобы эти два многочлена были равны, необходимо и достаточно, чтобы совпадали наборы их коэффициентов.

Необходимость. Пусть , т.е. " z Î C . Выберем какие – нибудь попарно различные числа , , ¼, . Из " z Î C следует: , j = 1, 2, ¼, n + 1. По следствию 2 , k = 0, 1, ¼, n.

Достаточность очевидна: если , k = 0, 1, ¼, n, то " z Î C
.

Замечание 6. Пусть значения многочленов и совпадают во всех точках вещественной оси: " х Î R .Тогда их значения совпадают на всей комплексной плоскости: " z Î C .

Выберем попарно различные точки , , ¼, на вещественной оси. Имеем: , j = 1, 2, ¼, n + 1. По следствию 2 наборы коэффициентов этих многочленов совпадают, а тогда " z Î C .

2.3. Вещественные многочлены

Алгебраический многочлен называют вещественным многочленом, если все его коэффициенты – вещественные числа. Значения, принима- емые вещественным многочленом в точках вещественной оси, являются веществен- ными числами.

Теорема 4. (О корнях вещественного многочлена) Пусть – вещественный алгебраический многочлен степени n, n ³ 1, и пусть a, a Î C, – корень этого много- члена кратности k. Тогда сопряжённое число также является корнем , причем той же кратности k.

Так как a - корень кратности k, то справедливо представление (14):

" z Î C , где , причем . Отсюда (см. п. 1.7): " z Î C

. В частности, эти равенства справедливы при вещественных z. Если z = x Î R, то ; кроме того, , так как при всяком x Î R есть вещественное число. Отсюда: " x Î R

, где . Обозначим: . Значения многочленов и совпадают во всех точках вещественной оси; следовательно (см. заме- чание 6, п. 2.2), их значения совпадают во всех точках комплексной плоскости:

" z Î C .

Заметим, что . Действительно, . Но , значит, и .

Таким образом, " z Î C , причем . Сле- довательно (см. (14)), число является корнем кратности k.

Пусть - вещественный многочлен степени n, n ³ 1, и пусть , , ¼, , m £ n, – все попарно различные его корни, а , , ¼, – кратности этих корней. Тогда справедливо представление (18). Допустим, что – мнимое число: , где , , причем n ¹ 0. По теореме 4 число также является корнем кратности . Значит, в (18) среди множителей присутствует множитель . Заметим: , где , = . Таким образом, объединив множители, отвечающие паре мнимых сопряженных корней а и , получаем квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, возведенный в степень, равную кратности каждого из этих сопряженных корней.

Пусть, как и выше, , n ³ 1, – вещественный многочлен, а , , ¼, – все его попарно различные корни. Среди них могут быть и вещественные числа, и мнимые. Пусть , , ¼, – все вещественные числа в ряду , , ¼, , и пусть есть кратность , j = 1, 2, ¼, l. Остальные числа указанного ряда мнимые; в силу теоремы 4 их можно разбить на некоторое количество пар сопряженных друг другу корней. Пусть это будут пары и , и , ¼, и , и пусть - кратность каждого из корней и , t = 1, 2, ¼, s. Тогда из (18) получим: " z Î C

Отсюда: " z Î C

. (19)

Это представление вещественного многочлена называют его разложением на вещественные множители, линейные и квадратные. Квадратные множители – это квад- ратные трехчлены с вещественными коэффициентами; каждый из них имеет пару мни -мых сопряженных корней. Справедливо равенство

.

Пример. Многочлен , рассмотренный в примере п.2.2, является вещественным многочленом, он имеет простой вещественный корень и пару мнимых сопряженных корней , кратности 2. Справедливо представление: " z Î C

,

так что разложение (19) для выглядит так: .