Рациональные алгебраические дроби

Все алгебраические многочлены, рассматриваемые в этом параграфе, являются вещественными многочленами, т.е. их коэффициенты – вещественные числа. Вещественный многочлен , , при вещественных x принимает вещественные значения. Заметим, что такой многочлен может иметь как вещественные, так и мнимые корни.

3.1 Основные понятия

Функцию R, заданную равенством , где и - алгебраические многочлены степени m и n соответственно, называют рациональной функцией.

Если многочлен отличен от тождественной константы, т.е. если его сте- пень есть натуральное число, рациональную функцию называют рациональной алгеб- раической дробью или, короче, рациональной дробью. Здесь мы рассматриваем раци- ональные дроби , n ³ 1. В качестве области определения X такой функ- ции выступает вся числовая ось, за вычетом конечного множества точек – веществен- ных корней знаменателя .

Рациональную дробь называют правильной, если m < n, и неправиль- ной в противном случае, т.е. когда степень числителя больше или равна степени знаме- нателя. Неправильную рациональную дробь , поделив многочлен на многочлен , можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби:

. Здесь и - алгебраические многочлены, причем степень l многочлена меньше n. Такое преобразование дроби называют выделением её целой части.

Элементарными рациональными дробями назовём рациональные дроби следующих двух видов:

, , где A, B, C, a, b, c – вещественные числа, причем , так что корни трехчлена - пара сопряженных мнимых чисел; k – натуральное число.

3.2. Основная теорема

Пусть , n ³ 1, – вещественный многочлен степени n, и пусть (19) есть его разложение на вещественные множители. Таким образом, имеет l попарно раз- личных вещественных корней кратности , j = 1, 2,.., l, и s пар мнимых сопря- женных корней , кратности , t = 1, 2,.., s.

Теорема 5. ( О разложении правильной дроби в сумму элементарных дробей )

Пусть - правильная рациональная дробь (m < n), знаменатель которой представлен разложением (19). Существуют наборы вещественных чисел , где j = 1, 2, ¼, l, a = 1, 2, ¼, , а также наборы вещественных чисел и , где t = 1, 2,¼, s, β = 1, 2, ¼, , такие, что при всех x, x Î R, , справед- ливо равенство

................

…………………………………………………….

.

Доказательство теоремы можно найти в [1].

Замечание. Так как , то общее количество констант , и равно степени знаменателя n.

Пример. Дробь разложим в сумму элементар- ных дробей.

Разложение знаменателя на вещественные множители получено в примере п. 2.3.: . Многочлен имеет прос- той вещественный корень и пару мнимых сопряженных корней , кратности 2. Согласно теореме 5 существуют константы – обозначим их через А, B, C, D, E - такие, что при R, х

. Найдём эти константы. Приведя дроби в правой части к общему знаменателю, получим равенство между двумя дробями, знаменатели которых одинаковы. Значит, должны совпадать и их числители:

. На это равенство смотрим как на равенство между двумя многочленами, причём сте- пень многочлена в правой части не выше четвёртой. Из равенства и следствия 3 теоре- мы 3 следует, что должны быть одинаковы коэффициенты этих многочленов при оди- наковых степенях х. Приравняв коэффициенты последовательно при , получим систему уравнений для неизвестных А, B, C, D, E:

Отсюда: . Итак,

.