Гурвиц (Hurwitz, 1895)

А) Система устойчива, если при положительности (одинаковом знаке) всех коэффициентов ХУ все диагональные миноры матрицы Гурвица>0 (положительны).

ХУ: D(s)=a₀sⁿ+ a₁s^n-1+… a_n=0

Б) По главной диагонали матрицы Гурвица размером (mxn) выписывают последовательно начиная с а₁ коэффициенты ХУ, столбцы заполняют вверх последующими вниз предыдущими коэффициентами, отсутствующие коэффициенты заменяют 0.

Главный определитель матрицы равен Δ_n= Δ_n-1 ·а_n=0, если определитель предыдущего порядка Δ_n-1 =0(пара мнимых корней), тогда система находится на периодической границе устойчивости, либо если а_n=0 (нулевой корень), тогда система находится на апериодической границе устойчивости.

Пример: Оценить устойчивость системы по Гурвицу

Проверяем необходимое условие

А) все а_i>0 (т.е. все коэффициенты ХУ положительны)

Достаточное условие

Б)

Δ₁=2>0

Δ₂=6-4=2>0 Вывод: система устойчива.

Частные случаи:

1) система первого порядка

2) система второго порядка

Для устойчивости систем нулевого, первого и второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ХУ были больше нуля.

3) система третьего порядка

Достаточно вычислить Δ₂=а₁а₂- а₀а₃ (произведение средних минус произведение крайних).

Критерии Гурвица используют при ручных расчетах систем до четвертого порядка включительно.

ЛЕКЦИЯ №7