Теплопроводность твердого тела

В газах и жидкостях в результате беспорядочного движения молекул и соударений происходят непрерывные изменения энергий частиц – тепловое движение. Если появляется неоднородность температуры, то на тепловое движение накладывается упорядоченное движение, выравнивающее эту неоднородность – явление переноса (теплопроводность, диффузия и т.д.). Теплопроводность в общем случае описывается уравнением Фурье:

, (2.20)

где dQ – количество теплоты, переносимое за время dt через площадку dS в направлении нормали х к этой площадке в сторону убывания температуры;

dT/dx – градиент температуры;

χ – коэффициент теплопроводности. Он численно равняется количеству тепла, прошедшего через единицу площади за единицу времени, при градиенте температуры, равном единице.

Из кинетической теории газов

, (2.21)

где l – средняя длина свободного пробега молекул газа;

v – средняя скорость теплового движения молекул.

Теплопроводность диэлектриков. Теплота в твердых (неметаллических) телах передается колебаниями кристаллической решетки. Если при данной температуре Т один из узлов колеблется с амплитудой А, то он, будучи связан с соседями, будет действовать на них, вызывая увеличение амплитуды соседних частиц. Таким образом энергия тепловых колебаний передается от одного узла решетки к другому. Этот процесс можно представить в виде распространения в кристалле набора гармонических упругих волн, имеющих различные частоты ω, которым сопоставляются квазичастицы - фононы с энергией ћω и импульсом ћω/v_зв, где v_зв – скорость упругих волн (скорость звука). Таким образом, процесс решеточной теплопроводности можно рассматривать как газ фононов, свободно перемещающихся по кристаллу. Фононный газ в определенном интервале температур ведет себя как идеальный газ, поэтому коэффициент решеточной теплопроводности твердого тела можно выразить формулой, соответствующей теплопроводности идеального газа:

, (2.22) где - средняя длина пробега фонона.

В области высоких температур (при Т>Θ) ~1/Т, так как обратно пропорционально числу фононов, которое при высоких температурах пропорционально Т. Отсюда и χ_реш ~ 1/Т.

В области низких температур, близких к абсолютному нулю, в достаточно чистых кристаллах проявляется зависимость от размеров образца. Это объясняется тем, что при низких температурах концентрация фононов незначительна, а поэтому мала вероятность рассеяния фононов на фононах, а если в кристалле мало дефектов, то будет ограничена размерами образца d, т.е. ≈d, тогда . (2.23)

Поскольку в правой части (2.23) от температуры зависит только C_V~Т³ (см. формулу (2.17)), то при низкой температуре и χ_реш ~ 1/Т³.

При повышении температуры уменьшается и постепенно начинает играть роль первый механизм, где χ_реш ~ 1/Т.

Теплопроводность металлов. В металлах в отличие от диэлектриков, перенос теплоты осуществляется не только фононами, но и свободными (коллективизированными) электронами. Поэтому коэффициент теплопроводности χ_М металлов складывается из коэффициентов решеточной теплопроводности χ_реш и теплопроводности электронов χ_эл:

χ_М = χ_реш + χ_эл. (2.24)

где χ_эл пропорциональна длине свободного пробега электронов и температуре:

. (2.25)

Определим качественно характер температурной зависимости теплопроводности чистых металлов.

В области высоких температур l_эл определяется рассеянием электронов на фононах, т.е. обратно пропорциональна их концентрации n_Ф, которая пропорциональна температуре n_Ф ~Т. Отсюда l_эл ~1/Т. С учетом (2.25)

. (2.26)

Таким образом, в области высоких температур теплопроводность чистых металлов не зависит от температуры.

В области низких температур концентрация фононов n_Ф ~Т³, т.е. l_эл ~1/Т³. С учетом (2.25)

(2.27)

В области очень низких температур (вблизи абсолютного нуля) концентрация фононов становится настолько малой, что можно не учитывать процесс рассеяния на них электронов (они рассеиваются только на примесях). В этом случае длина свободного пробега перестает зависеть от температуры l_{э л}≈const и теплопроводность металлов в соответствии c (2.25) становится пропорциональной Т:

.

На рис. 2.4 приведен график зависимости χ(Т) для меди.

Рисунок 2.4

Теплопроводность чистых металлов почти полностью определяется теплопроводностью их электронного газа. На долю решеточной проводимости приходится лишь несколько процентов.

Эта картина может резко измениться для металлических сплавов, где большая концентрация примесей. В этом случае преобладающим механизмом рассеяния электронов является рассеяние на примесных атомах. Длина свободного пробега электронов пропорциональна концентрации примеси и может быть сравнима с длиной свободного пробега фононов. В этом случае вклад электронной теплопроводности может быть сравним по порядку величины с вкладом фононов, т.е. χ_эл ≈χ_реш.