Равномерное и равнопеременное вращение

Скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольной точки на оси вращения.

Это выражение называют векторной формулой Эйлера.

Определим ускорение точки М:

,

так как

,

то

.

Рассмотрим слагаемые, входящие в это выражение. Вектор в соответствии с правилом векторного произведения направлен по касательной к траектории точки М, т. е. как касательное уско­рение точки М, которое во вращатель­ном движении называют вращательным ускорением (рис. 7):

.

Рис. 7

Величина вращательного ускорения

,

.

Вектор находится в плоскости окружности радиуса КМ = h, направлен от точки М к оси вращения и является нормальным ускорением точки М. При вращательном движении это ускорение называют центростремительным ускорением:

.

Величина центростремительного ускорения:

,

где ,

.

Модуль полного ускорения точки, вращающегося твердого тела

.

Угол между полным ускорением и центростремительным равен:

.

Равномерным называют вращение, при котором угловая скорость постоянна по модулю и направлению:

,

откуда . После интегрирования получим

.

Это выражение называют законом равномерного вращения. При равномерном вращении угловую скорость можно опреде­лить, если задано число оборотов в минуту по формуле:

,

где п — число оборотов в минуту.

Задача 2. Груз 1 опускается по закону м. Определить уг­ловую скорость, угловое ускорение барабана, скорость и ускоре­ние точки М в момент времени t = 1 с, если R = 3 r = 0,6 м (рис. 8).

Рис. 8

Решение. Определим скорость груза:

.

Находим угловую скорость и угловое ускорение:

,

.

Скорость точки М равна:

.

Вращательное ускорение точки М:

.

Центростремительное ускорение точки М:

,

Модуль полного ускорения точки М можно найти по форму­ле (15):

,

/

Равнопеременным называют вращение, при котором угловое ускорение постоянно по величине и направлению:

.

Откуда .

Рис. 9

Находим

.

После разделения переменных и интегрирования

получим

- закон равнопеременного вращения

Если ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение равноус­коренное (рис. 9, а). Скорость и вращательное ускорение на­правлены в одну сторону.

Если ω и ε имеют разные знаки, то вращение равнозамедленное. Скорость и вращательное ускоре­ние направлены в разные стороны (рис. 9, б). Центростреми­тельное ускорение в обоих случаях направлено к оси вращения.

Задача 3. Диск, вращаясь равноускоренно из состояния покоя, сделал 14400 оборотов за 4 мин. Определить угловую скорость и угловое ускорение диска.

Решение. Начальные условия движения: ω.

.

Используя формулу , находим угловое ускорение диска:

.

Угловая скорость равна: рад/с.

Задача 4. Для спуска груза 4 диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр , перпендикулярно плоскости диска, согласно уравнению и приводит во вращение диски 2 и 3 жёстко скрепленные друг с другом и имеющие общую неподвижную ось вращения. Диски 1 и 2 являются зубчатой передачей.

Определить скорость и ускорение груза 4, ускорение точки А в момент времени t=5 с, если =0,2 м; =0,4 м; =0,3 м.

Сначала определим угловую скорость и угловое ускорение диска 1.

В момент времени t=5 с определим модуль угловой скорости

рад/с; модуль рад/.

Дуговые стрелки для и , соответствующие направлению и характеру вращения диска 1, следует направить в сторону движения часовой стрелки, т. к. алгебраические угловая скорость и угловое ускорение оказались отрицательными. Тогда диски 2 и З будут вращаться против движения часовой стрелки за счёт зубчатой передачи. Запишем уравнения связи. Для этого, согласно выражению свяжем перемещение точек соприкосновения диска 3 и тела 4 (через нерастяжимый трос):

, получаем ; .

Дифференцируем правые и левые части полученного равенства:

рад/с; рад/;

м/с; м/.

Вычислим уравнение точки А на диске:

м/; м/;

м/.

Задача 5. Груз 1(рис. 12.10), опускаясь, согласно уравнению s = 3 +15, где s - расстояние груза от места схода нити с поверхности вала в сантиметрах; t - время в секундах, приводит в движение колесо 2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.

Пренебрегая скольжением ремня по ободам колес, определить для момента времени =1 с скорость и ускорение рейки 4, угловые скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение точки А, если =30 см; =50 см - радиусы ступеней колеса 2; =40 см; =60 см - радиусы ступеней колеса 3.

Дано: ;=30 см;=50 см; =60 см.

Определить: при с.

1. Найдём , . Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени == 9. Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса , т.е. . Найдем как функцию времени:

. (а)

Так как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей (ремень нерастяжим), то , но ; .

,

поэтому

. (б)

При t=1 с из (а) и (б) найдем = 0,3 рад/с; =-,25 рад/c.

2. Определим . Так как =, то при =1 с имеем =10 см/c.

3. Найдем . Продифференцируем по времени выражения (а), (б):

; . При =1с =0,5 рад/.

4. Найдем . Рейка 4 движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковые ускорения. Точка D одновременно принадлежит рейке 4 и ободу колеса 3 радиуса , поэтому ; при =1с и =20 см/

5. Найдем ускорение точки А, используя формулу ;.

При =1с и =30 см/; =4,5 см/;

см/.