2014-02-09
12044
Скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор этой точки, проведенный из произвольной точки на оси вращения.
Это выражение называют векторной формулой Эйлера.
Определим ускорение точки М:
,
так как
,
то
.
Рассмотрим слагаемые, входящие в это выражение. Вектор 
в соответствии с правилом векторного произведения направлен по касательной к траектории точки М, т. е. как касательное ускорение точки М, которое во вращательном движении называют вращательным ускорением (рис. 7):
.
Рис. 7
Величина вращательного ускорения
,
.
Вектор 
находится в плоскости окружности радиуса КМ = h, направлен от точки М к оси вращения и является нормальным ускорением точки М. При вращательном движении это ускорение называют центростремительным ускорением:
.
Величина центростремительного ускорения:
,
где 
,
.
Модуль полного ускорения точки, вращающегося твердого тела
|
|
|
.
Угол между полным ускорением и центростремительным равен:
.
Равномерным называют вращение, при котором угловая скорость постоянна по модулю и направлению:
,
откуда 
. После интегрирования получим
.
Это выражение называют законом равномерного вращения. При равномерном вращении угловую скорость можно определить, если задано число оборотов в минуту по формуле:
,
где п — число оборотов в минуту.
Задача 2. Груз 1 опускается по закону 
м. Определить угловую скорость, угловое ускорение барабана, скорость и ускорение точки М в момент времени t = 1 с, если R = 3 r = 0,6 м (рис. 8).
Рис. 8
Решение. Определим скорость груза:
.
Находим угловую скорость и угловое ускорение:
,
.
Скорость точки М равна:
.
Вращательное ускорение точки М:
.
Центростремительное ускорение точки М:
,
Модуль полного ускорения точки М можно найти по формуле (15):
,
/
Равнопеременным называют вращение, при котором угловое ускорение постоянно по величине и направлению:
.
Откуда 
.
Рис. 9
Находим
.
После разделения переменных и интегрирования
получим
- закон равнопеременного вращения
Если ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение равноускоренное (рис. 9, а). Скорость и вращательное ускорение направлены в одну сторону.
Если ω и ε имеют разные знаки, то вращение равнозамедленное. Скорость и вращательное ускорение направлены в разные стороны (рис. 9, б). Центростремительное ускорение в обоих случаях направлено к оси вращения.
Задача 3. Диск, вращаясь равноускоренно из состояния покоя, сделал 14400 оборотов за 4 мин. Определить угловую скорость и угловое ускорение диска.
|
|
|
Решение. Начальные условия движения: 
ω.
.
Используя формулу 
, находим угловое ускорение диска:
.
Угловая скорость равна: 
рад/с.
Задача 4. Для спуска груза 4 диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр 
, перпендикулярно плоскости диска, согласно уравнению 
и приводит во вращение диски 2 и 3 жёстко скрепленные друг с другом и имеющие общую неподвижную ось вращения. Диски 1 и 2 являются зубчатой передачей.
Определить скорость и ускорение груза 4, ускорение точки А в момент времени t=5 с, если 
=0,2 м; 
=0,4 м; 
=0,3 м.
Сначала определим угловую скорость и угловое ускорение диска 1.
В момент времени t=5 с определим модуль угловой скорости
рад/с; модуль 
рад/
.
Дуговые стрелки для 
и 
, соответствующие направлению и характеру вращения диска 1, следует направить в сторону движения часовой стрелки, т. к. алгебраические угловая скорость 
и угловое ускорение 
оказались отрицательными. Тогда диски 2 и З будут вращаться против движения часовой стрелки за счёт зубчатой передачи. Запишем уравнения связи. Для этого, согласно выражению свяжем перемещение точек соприкосновения диска 3 и тела 4 (через нерастяжимый трос):
, получаем 
; 
.
Дифференцируем правые и левые части полученного равенства:
рад/с; 
рад/;
м/с; 
м/.
Вычислим уравнение точки А на диске:
м/; 
м/;
м/.
Задача 5. Груз 1(рис. 12.10), опускаясь, согласно уравнению s = 3 
+15, где s - расстояние груза от места схода нити с поверхности вала в сантиметрах; t - время в секундах, приводит в движение колесо 2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.
Пренебрегая скольжением ремня по ободам колес, определить для момента времени 
=1 с скорость и ускорение рейки 4, угловые скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение точки А, если =30 см; =50 см - радиусы ступеней колеса 2; 
=40 см; 
=60 см - радиусы ступеней колеса 3.
Дано: 
;
=30 см;
=50 см; 
=60 см.
Определить: 
при 
с.
1. Найдём 
, 
. Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени 
=
= 9
. Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса 
, т.е. 
. Найдем 
как функцию времени:
. (а)
Так как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей (ремень нерастяжим), то 
, но 
; 
.
,
поэтому
. (б)
При t=1 с из (а) и (б) найдем = 0,3 рад/с; =-,25 рад/c.
2. Определим 
. Так как =
, то при 
=1 с имеем 
=10 см/c.
3. Найдем 
. Продифференцируем по времени выражения (а), (б):
; 
. При =1с 
=0,5 рад/.
4. Найдем 
. Рейка 4 движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковые ускорения. Точка D одновременно принадлежит рейке 4 и ободу колеса 3 радиуса 
, поэтому 
; при =1с и 
=20 см/
5. Найдем ускорение точки А, используя формулу 
;
.
При =1с и 
=30 см/; 
=4,5 см/;
см/.
