Изучение земной поверхности. Масштаб

Цель работы: приобретение навыков определения расстояний и площадей на местности по её изображению на планах и картах.

Оборудование: планиметр, курвиметр, палетка, планы, карты, чертёжные и измерительные инструменты.

Порядок работы

1. В соответствии с индивидуальным заданием (прил. 1 и 7) вычертить на бумаге график функции (в общем виде заданной уравнением параболы второго порядка) у = ах ² + bx + c. Для построения графика нужно определить минимум функции, т.е. найти первую производную: y’ = 2 ax + b. Пример дан в прил. 11.

2. В соответствии с индивидуальным заданием выделить на чертеже криволинейную трапецию OABC, определить её площадь и длину кривой и прямой АВ. Для определения длины кривой АВ можно использовать уравнение

l = ∫ dx.

Подкоренное выражение здесь также имеет вид уравнения параболы второго порядка ax ² + bx + c. Приняв последнее выражение за М и введя дополнительные показатели

Δ = 4 ac – b ² и k = 4 a / Δ,

длину кривой можно определить по уравнению

∫ dx = (2 ax + b) / 4 a + (1/2 k)∫ dx / ,

но так как ∫ dx / = (1/) ln (2 + 2 ax + b), уравнение приобретает вид

∫ dx = (2 ax + b) / 4 a +

+ (1/2 k)(1/) ln(2+ 2 ax + b),

а в нашем случае длина кривой может быть рассчитана через нахождение интеграла:

dx ={[(2 ax – b)] / 4a + [(4ac + b²) / 8 a ]×

×(1/ ) ln(2},

так как

∫ dx = F (max) – F (min).

Длину кривой АВ требуется измерить нитью и линейкой, а также с помощью курвиметра.

Длину прямой АВ, в свою очередь, можно определить с помощью курвиметра, с помощью линейки и алгебраически, применяя теорему Пифагора.

Площадь криволинейной трапеции (S) определяется путём её разбивки на простейшие геометрические фигуры и вычисления суммарной площади этих фигур. Другой способ – использование палетки или планиметра. Но самый точный результат даёт, конечно, алгебраический метод расчёта площади путём нахождения определённого интеграла на отрезке ОС, т.е. с использованием уравнения Ньютона-Лейбница, что особых усилий не требует.

S = dx = F (max) – F (min),