Экспоненциальная математическая модель изменения погрешности

Линейная математическая модель изменения погрешности

Простейшей моделью изменения погрешности является линейная.

(t) = + (1)

Где - скорость изменения погрешности.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодически иллюстрирует рис.1, где прямой линией 1 показано изменение Δ при линейном законе.

рис.1

При метрологическом отказе погрешность (t) превышает значение +,

где – значение запаса нормируемого предела погрешности необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора и его погрешность возвращается к исходному значению.

По прошествии времени = - опять происходит отказ (моменты,, … и тд) после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией, которая может быть представлена уравнением.

= + n

Где n – число отказов (ремонтов) СИ.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности.

Если МС предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте обеспечивается, то уменьшается межповерочный интервал.

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.2) все межповерочные интервалы Т будут равны, а частота метрологических отказов = будет постоянной в течении всего срока эксплуатации.

В реальности для одних СИ межремонтные (межповерочные) интервалы уменьшаются, для других увеличивается. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешности (рис 2) каждый последующий межремонтный интервал короче предыдущего и частота метрологических отказов = с течением времени возрастает. При замедленно возрастании погрешности (рис 3) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов с течением времени убывает вплоть до нуля.

Для рассмотренных случаев изменение погрешности во времени описывается экспоненциальной моделью. В ней частота метрологических отказов:

(t) = (1)

Где - начальная частота метрологических отказов на момент изготовления СИ;

a – положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старения.

Число отказов n(t) определяется через частоту отказов (t) и рассчитывается по формуле

n(t) = = ((2)

Тогда изменение во времени погрешности СИ

Δ = + n(t) = + g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>0</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:num><m:den><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/><w:sz-cs w:val="32"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>a</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> (- 1) (3)

Практическое использование формулы (3) требует значения четырех параметров:

- начального значения погрешности ();

- абсолютного запаса погрешности ();

- начального значения частоты метрологического отказа (;

- ускорения (а) процесса старения.

Решение уравнения (4) затруднено.

С целью упрощения использования уравнения (4) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три первых члена. В результате получим:

Δ = + · + · · = + t +, (4)

Где - начальная скорость возрастания погрешности %;

- абсолютное значение ускорения изменения погрешности %.

В частном случае, когда = 0 уравнение (5) превращается в линейное уравнение

Выражение (4) имеет физический смысл и позволяет путем аппроксимации экспериментальных данных о погрешностях СИ за 10…15 лет получить оценки коэффициентов и, а по ним рассчитать параметры уравнения (4) в виде:

= = и = (5)

Расчет времени наступления метрологического отказа могут быть найдены путем совместного решения уравнений (3) и (4). Момент поступления n-го отказа можно определить по формулам:

= ln (; =) (6)

Где - срок службы.