2014-02-17
331
Таблица 4.10 Расчет величины
Таблица 4.9 Промежуточные расчеты
Таблица 4.8 Промежуточные расчеты
Таблица 4.7 Промежуточные расчеты
Таблица 4.5 Таблица расчетов
| № квартала, | Количество правонарушений, | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| – | – | – | – | ||
| 657,5 | – | – | |||
| 655,25 | 213,75 | ||||
| 665,5 | 349,5 | ||||
| 708,75 | 693,75 | -336,75 | |||
| 709,375 | -238,375 | ||||
| 718,25 | 714,125 | 277,875 | |||
| 689,25 | 703,75 | 316,25 | |||
| 689,25 | 689,25 | -299,25 | |||
| 660,5 | 674,875 | -319,875 | |||
| 678,25 | 669,375 | 322,625 | |||
| 690,625 | 214,375 | ||||
| -233 | |||||
| 690,5 | 687,75 | -233,75 | |||
| – | – | – | – | ||
| – | – | – | – |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 4.6 Промежуточные расчеты
| Показатели | Год | № квартала, | |||
| I | II | III | IV | ||
| – | – | 213,75 | 349,5 | ||
| -336,75 | -238,375 | 277,875 | 316,25 | ||
| -299,25 | -319,875 | 322,625 | 214,375 | ||
| -233 | -233,75 | – | – | ||
| Всего за -й квартал | -869 | -792 | 814,25 | 880,125 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала, | -289,667 | -264 | 271,417 | 293,375 | |
| Скорректированная сезонная компонента, | -292,448 | -266,781 | 268,636 | 290,593 |
Для данной модели имеем:
.
Корректирующий коэффициент:.
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу 4.6.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
| -292,448 | 667,448 | 672,700 | 380,252 | -5,252 | 27,584 | ||
| -266,781 | 637,781 | 673,624 | 406,843 | -35,843 | 1284,721 | ||
| 268,636 | 600,364 | 674,547 | 943,183 | -74,183 | 5503,117 | ||
| 290,593 | 724,407 | 675,470 | 966,063 | 48,937 | 2394,830 | ||
| -292,448 | 649,448 | 676,394 | 383,946 | -26,946 | 726,087 | ||
| -266,781 | 737,781 | 677,317 | 410,536 | 60,464 | 3655,895 | ||
| 268,636 | 723,364 | 678,240 | 946,876 | 45,124 | 2036,175 | ||
| 290,593 | 729,407 | 679,163 | 969,756 | 50,244 | 2524,460 | ||
| -292,448 | 682,448 | 680,087 | 387,639 | 2,361 | 5,574 | ||
| -266,781 | 621,781 | 681,010 | 414,229 | -59,229 | 3508,074 | ||
| 268,636 | 723,364 | 681,933 | 950,569 | 41,431 | 1716,528 | ||
| 290,593 | 614,407 | 682,857 | 973,450 | -68,450 | 4685,403 | ||
| -292,448 | 753,448 | 683,780 | 391,332 | 69,668 | 4853,630 | ||
| -266,781 | 720,781 | 684,703 | 417,922 | 36,078 | 1301,622 | ||
| 268,636 | 651,364 | 685,627 | 954,263 | -34,263 | 1173,953 | ||
| 290,593 | 636,407 | 686,550 | 977,143 | -50,143 | 2514,320 |
Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
.
Подставляя в это уравнение значения, найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.7).
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
Рисунок 4.6. Фактические и теоретические значения уровней временного ряда полученные по аддитивной модели.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
Получим
;
.
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и. Таким образом,
;
.
Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.
Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.
Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.
| № квартала, | Количество правонарушений, | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| – | – | – | – | ||
| 657,5 | – | – | |||
| 655,25 | 1,3262 | ||||
| 665,5 | 1,5252 | ||||
| 708,75 | 693,75 | 0,5146 | |||
| 709,375 | 0,6640 | ||||
| 718,25 | 714,125 | 1,3891 | |||
| 689,25 | 703,75 | 1,4494 | |||
| 689,25 | 689,25 | 0,5658 | |||
| 660,5 | 674,875 | 0,5260 | |||
| 678,25 | 669,375 | 1,4820 | |||
| 690,625 | 1,3104 | ||||
| 0,6643 | |||||
| 690,5 | 687,75 | 0,6601 | |||
| – | – | – | – | ||
| – | – | – | – |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 4.8). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты (табл. 4.9). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.
| Показатели | Год | № квартала, | |||
| I | II | III | IV | ||
| – | – | 1,3262 | 1,5252 | ||
| 0,5146 | 0,6640 | 1,3891 | 1,4494 | ||
| 0,5658 | 0,5260 | 1,4820 | 1,3104 | ||
| 0,6643 | 0,6601 | – | – | ||
| Всего за -й квартал | 1,7447 | 1,8501 | 4,1973 | 4,2850 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала, | 0,5816 | 0,6167 | 1,3991 | 1,4283 | |
| Скорректированная сезонная компонента, | 0,5779 | 0,6128 | 1,3901 | 1,4192 |
Имеем
.
Определяем корректирующий коэффициент:
.
Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент.
Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:
.
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (гр. 4 табл. 4.10), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
| 0,5779 | 648,9012 | 654,9173 | 378,4767 | 0,9908 | ||
| 0,6128 | 605,4178 | 658,1982 | 403,3439 | 0,9198 | ||
| 1,3901 | 625,1349 | 661,4791 | 919,5221 | 0,9451 | ||
| 1,4192 | 715,1917 | 664,7600 | 943,4274 | 1,0759 | ||
| 0,5779 | 617,7539 | 668,0409 | 386,0608 | 0,9247 | ||
| 0,6128 | 768,6031 | 671,3218 | 411,3860 | 1,1449 | ||
| 1,3901 | 713,6177 | 674,6027 | 937,7652 | 1,0578 | ||
| 1,4192 | 718,7148 | 677,8836 | 962,0524 | 1,0602 | ||
| 0,5779 | 674,8572 | 681,1645 | 393,6450 | 0,9907 | ||
| 0,6128 | 579,3081 | 684,4454 | 419,4281 | 0,8464 | ||
| 1,3901 | 713,6177 | 687,7263 | 956,0083 | 1,0377 | ||
| 1,4192 | 637,6832 | 691,0072 | 980,6774 | 0,9228 | ||
| 0,5779 | 797,7159 | 694,2881 | 401,2291 | 1,1490 | ||
| 0,6128 | 740,8616 | 697,5690 | 427,4703 | 1,0621 | ||
| 1,3901 | 661,8229 | 700,8499 | 974,2515 | 0,9443 | ||
| 1,4192 | 653,1849 | 704,1308 | 999,3024 | 0,9277 |
Шаг 4. Определим компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни. В результате получим уравнение тренда:
.
Подставляя в это уравнение значения, найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.10).
Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 4.10). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.
Рисунок 4.7 Фактические и теоретические значения уровней временного ряда полученные по мультипликативной модели
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:
.
Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать сумму квадратов абсолютных ошибок:
.
Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исходные данные.
Шаг 6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Если предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
Получим
;
.
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и. Таким образом
;
.
Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436 правонарушений соответственно.
Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу.
При использовании отдельных уравнений регрессии, например для экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений, называемых также структурными уравнениями.
Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.
Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов:
(3.1)
Набор факторов в каждом уравнении может варьировать. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.
Если зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:
(3.2)
В данной системе зависимая переменная включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов. Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:
(3.3)
Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.
